Математика Настольных Игр: Вероятность и Ожидаемые Значения

Каждая механика настольной игры имеет математическую сущность. Бросок игральной кости имеет ожидаемое значение и дисперсию. Вытягивание карты имеет распределение вероятностей. Торговля ресурсами имеет обменный курс, который можно выразить как соотношение. Дизайнеры, которые понимают эту математику, принимают лучшие решения, чем дизайнеры, которые работают на ощупь — не потому, что математика заменяет интуицию, а потому, что интуиция часто расходится с реальностью, и одно только тестирование вряд ли исправит это.

В этой статье рассматриваются математические концепции, которые наиболее важны для разработки и игры в настольные игры: распределения вероятностей, ожидаемое значение, дисперсия и психологический разрыв между тем, что говорит математика, и тем, что испытывают игроки. Независимо от того, разрабатываете ли вы игру или просто пытаетесь понять, почему ваши сеансы игры в кости кажутся катастрофически неудачными, представленная здесь структура изменит ваше представление о случайности в играх.

Почему математика важна в игровом дизайне

Игродизайнер, который не рассчитал ожидаемую ценность основной экономики действий своей игры, не знает, работает ли их игра. Это звучит грубо, но функционально это верно. Если ожидаемый доход от наилучшего доступного действия составляет 4 ресурса за раунд, а стоимость действия условия победы — 30 ресурсов, разработчику необходимо знать, достижима ли такая норма дохода в течение типичной продолжительности игры — до игрового тестирования, а не после шести сессий, задающихся вопросом, почему никто никогда не выигрывает.

Математика и игровое тестирование — это дополнительные инструменты, а не альтернативы. Математика говорит вам, что предсказывает теория. Игровое тестирование покажет вам, соответствует ли человеческое поведение теории. В большинстве случаев они расходятся — не потому, что математика неверна, а потому, что игроки не всегда выбирают теоретически оптимальное действие. Разрыв между теоретической оптимальной игрой и реальной человеческой игрой сам по себе является переменной дизайна: игра, в которой только оптимальная игра приводит к интересным решениям, хуже игры, чем игра, в которой неоптимальная игра также создает интересные ситуации.

Каждая механика имеет ожидаемую ценность, и дизайнеры должны это знать. Когда игрок Neutronium: Parallel Wars получает доход от Nuclear Port, он получает точно рассчитанную ожидаемую ценность для каждого порта за раунд. Когда они решают атаковать, а не строить, они принимают решение, которое имеет вычислимые ожидаемые результаты при различных сценариях. Дизайнер, знающий эти цифры, может принять значимые решения по балансу; дизайнер, который не знает, догадывается.

Критическая асимметрия заключается в том, что случайность кажется несправедливой, даже когда она сбалансирована. При подбрасывании монеты 50/50 выпадает орел шесть раз подряд примерно в 1,6% случаев — редко, но не невозможно. Когда такое случается с игроком в игре, он воспринимает это как сбой в игре, а не как обычное статистическое событие. Понимание того, почему это происходит – и как дизайнеры могут структурировать случайность, чтобы чувствовать себя менее наказанным, сохраняя при этом те же основные вероятности – является наиболее практически ценным применением математики игрового дизайна.

Dice Вероятность 101

Одиночный d6 — наиболее распространенный инструмент рандомизации в настольных играх, а также один из самых непонятых. Стандартный d6 обеспечивает равномерное распределение: вероятность появления каждой грани (от 1 до 6) составляет 1/6, а ожидаемое значение равно 3,5. Игроки интуитивно понимают это, но часто не понимают, что означает повторяющиеся роллы в течение сессии.

отличие одного d6 от 2d6 имеет основополагающее значение для понимания того, почему разные механики игральных костей ощущаются по-разному. Один d6 имеет плоское распределение вероятностей — каждый исход от 1 до 6 одинаково вероятен.Суммирование двух d6 дает колоколообразную кривую: 7 — наиболее вероятный результат (вероятность 6/36 = 16,7%), тогда как 2 и 12 имеют вероятность 1/36 = 2,8%. Распределение 2d6 концентрирует результаты ближе к середине и делает экстремальные результаты редкими. Вот почему Катан, использующий 2d6 для производства ресурсов, чувствует себя менее требовательным при отдельных бросках, чем системы с одним кубиком — распределение естественным образом ограничивает экстремальные результаты.

Пользовательские игральные кости с нестандартным распределением граней дают разработчикам точный контроль над профилями вероятностей, который не могут обеспечить стандартные игральные кости. Игральный кубик с гранями [0, 0, 0, 1, 1, 2] имеет совсем другой характер, чем кубик d6: он выдает ноль в 50% случаев, один в 33% случаев и два в 17% случаев с ожидаемым значением 0,67. В Neutronium: Parallel Wars используются специальные кубики D6 с цветными гранями: синие грани обозначают стандартные результаты боя, красные грани обозначают критические результаты, а зеленые грани обозначают триггеры специальных способностей. Распределение типов лиц, а не только количество лиц, определяет вероятность каждого результата. Игральная кость с тремя синими гранями, двумя красными гранями и одной зеленой гранью дает синие результаты в 50% случаев, красные — в 33% и зеленые — в 17%. Дизайнер может регулировать эти соотношения, изменяя количество лиц, вместо того, чтобы создавать математически сложные системы разрешения.

Взрывающиеся игральные кости — это игральные кости, которые при выпадении максимального значения бросаются снова и результаты суммируются. D6, который взрывается при выпадении 6, имеет ожидаемое значение (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × ожидаемое значение d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Открытый характер создает теоретически неограниченные результаты — удачная последовательность взрывов может привести к очень высоким суммам — что создает моменты «чувства удачи», которые сознательно культивируются в некоторых играх. Компромисс — высокая дисперсия и случайный удачный бросок, определяющий игру.

Ограниченные игральные кости представляют собой противоположную философию: ограничение максимального результата для ограничения дисперсии. Системы пула игральных костей, в которых вы бросаете несколько игральных костей и берете только лучшие N результатов (системы преимуществ, такие как механика преимущества D&D 5E или система максимального выигрыша нескольких игральных костей в Гамшу), математически уменьшают дисперсию, сохраняя при этом вероятностное ощущение. Выбор более высокого из двух бросков d6 сдвигает ожидаемое значение с 3,5 до 4,47 — улучшение на 28% — при этом значительно снижая вероятность низких результатов.

Ожидаемая ценность ресурсов в играх

Игры по накоплению ресурсов — евро, производители двигателей, экономические стратегии — построены на расчетах ожидаемой стоимости, которые разработчик должен точно понимать, даже если они никогда не упоминаются явно в книге правил. Когда игрок выбирает между двумя действиями, он (сознательно или нет) сравнивает ожидаемую ценность этих действий за соответствующий временной горизонт.

Neutronium: Parallel Wars Система дохода Nuclear Port является явным примером расчетной ожидаемой стоимости. Формула дохода устанавливает, что игрок с N Nuclear Port получает доход по ставке, которая нелинейно масштабируется с N. Конкретная формула — 1 порт дает 2 единицы Neutronium за раунд; 10 портов дают 220 Nn за раунд — не случайно.Разработчик явно заявляет, что накопление портов должно приносить экспоненциальную, а не линейную прибыль, поскольку экспоненциальная доходность создает порог коалиции, который управляет конкурентной динамикой игры.

Эта формула представляет собой намеренный игровой дизайн, выраженный в математике. Разрыв между доходом от 7 портов (42 Nn/раунд) и доходом от 10 портов (220 Nn/раунд) является экономическим аргументом в пользу того, почему коалиции формируются на пороге 7 портов, а не ждут, пока наберется 9 или 10 портов. В 7 портах игрок имеет достаточный доход, чтобы представлять угрозу, но действия коалиции все еще могут иметь решающее значение, прежде чем преимущество в доходах станет математически непреодолимым. Дизайнер, который пришел к этим цифрам только посредством игрового тестирования, может получить их примерно правильно; проектировщик, который с самого начала понимал экспоненциальную функцию, мог точно указать порог.

Более широкий принцип: Когда экспоненциальное масштабирование является намеренным игровым дизайном, разработчик должен документировать функцию масштабирования и убедиться, что создаваемые ею пороговые значения находятся там, где они хотят. Если порог коалиции должен составлять 6 портов, а не 7, формулу дохода необходимо скорректировать — для этого необходимо знать, что это за формула, а не просто учитывать, что «игра кажется сбалансированной».

Разница и восприятие игроков

Variance — это мера того, насколько фактические результаты расходятся с ожидаемым значением. Высокая дисперсия означает, что отдельные результаты могут существенно отличаться от ожиданий; низкая дисперсия означает, что результаты плотно группируются вокруг среднего значения. Для гейм-дизайнеров дисперсия — это регулятор, влияющий как на математическую справедливость игры, так и на субъективный опыт от игры.

Ключевое психологическое открытие: Высокая дисперсия неприятна, даже если она математически сбалансирована. Подбрасывание монеты совершенно справедливо — 50/50, математическое ожидание одинаково для обоих игроков — но играть в игру, в которой каждое решение принимается подбрасыванием монеты, кажется произвольным и бесполезным. Игрокам необходимо чувствовать, что их решения имеют значение, а это значит, что им нужна причинно-следственная связь между хорошими решениями и хорошими результатами, чтобы они были заметны в игровой сессии. Высокая дисперсия разрывает эту связь.

Задача о шестиграннике Катана 7 против 2 наглядно это иллюстрирует. В Катане число 7 напечатано на большинстве гексов, поскольку оно имеет самую высокую вероятность - 2d6 (16,7%). Число 2 напечатано на наименьшем количестве шестиугольников (2,8%). Опытные игроки знают, что ресурсы следует расставлять по приоритетам на 6, 8, 5 и 9 — гексах с высокой вероятностью. Но в любой конкретной сессии игрок, который правильно разместил свои первоначальные поселения на этих гексах, все равно может значительно уступить игроку с размещением с меньшей вероятностью, если фактические броски кубиков отклоняются от ожидаемых значений. Это не несправедливо — это нормальная статистическая вариация.Но это кажется несправедливым, потому что взаимосвязь между решением (хорошее размещение) и результатом (частый доход от ресурсов) затеняется из-за отклонений.

Проектные решения для управления воспринимаемой несправедливостью из-за дисперсии включают в себя: Механика смягчения (перебросы, банки ресурсов, механизмы наверстывания, которые активируются при неудачных бросках), Точки принятия решений, которые остаются значимыми даже после неудачных бросков (так что игрок, у которого неудачные броски) по-прежнему имеет интересный выбор), а также дисперсия, благоприятствующая отстающим игрокам (догоняние за счет дисперсии: ведущий игрок хочет стабильного, предсказуемого дохода; отстающие игроки получают выгоду от подходов с высокой дисперсией, которые могут быстро сократить разрыв, даже если ожидаемое значение такое же).

Kingmaker моменты игры в кости, когда случайный бросок определяет, какой игрок выиграет или проиграет в финальном раунде, являются наиболее разрушительными последствиями дисперсии для удовлетворенности игроков. Решение состоит не в отказе от кубиков, а в структурировании поздней игры таким образом, чтобы результаты кубиков влияли на путь к победе, а не определяли его напрямую. Когда несколько игроков имеют жизнеспособные выигрышные позиции перед финальным раундом, счастливый бросок удовлетворяет победителя, но не кажется незаконным для проигравших, поскольку у проигравших также был путь к победе, который мог быть открыт благодаря их собственным удачным броскам.

Тестирование баланса с помощью Math

Система MEQA (измеримость, вовлеченность, качество, доступность) обеспечивает структурированный подход к тестированию игрового баланса. Опора измеримости — буква M в MEQA — это то место, где математика формально вступает в процесс проектирования: перед началом игрового тестирования дизайнер определяет, что означает «сбалансированный» в измеримых терминах.

Для игры с асимметричными фракциями, такой как Neutronium: Parallel Wars, измеримый баланс означает: каждая фракция должна достичь процента побед в пределах определенного диапазона допуска в достаточной выборке игр с сопоставимыми уровнями навыков. Если целью является процент побед 50% (чистый баланс) с приемлемым диапазоном ±10%, то фракция, выигравшая 42% игр, находится в пределах допуска, а фракция, выигравшая 63%, — нет. Но для достижения этого стандарта необходимо знать цель перед тестированием, а не заявлять задним числом, что наблюдаемые показатели побед «достаточно близки».

Определение показателей перед игровым тестированием меняет то, что вы наблюдаете. Если вы знаете, что измеряете процент побед для каждой фракции, вы отслеживаете задания фракций и результаты в разных сессиях. Если вы знаете, что измеряете среднюю продолжительность игры, вы записываете временные метки. Эти решения должны быть приняты до первого сеанса игрового тестирования, поскольку ретроспективные показатели ненадежны — память избирательна, и люди естественным образом запоминают сеансы, которые подтверждают существующие убеждения.

Требования к размеру выборки для выводов баланса часто превышают ожидания проектировщиков. Для игры для двух игроков с двумя фракциями 30 игр предоставляют базовые данные для обнаружения дисбаланса, превышающего 15 %, с достоверностью 80 %. Для игр для четырех игроков с шестью фракциями пространство для комбинаций намного больше: 30 игр дают вам примерно по 5 игр на пару фракций — этого едва достаточно для обнаружения крайнего дисбаланса и недостаточно для обнаружения тонких преимуществ.У независимых издателей редко есть ресурсы для тщательной статистической проверки; Практический подход заключается в использовании математических вычислений для проверки ожидаемых значений, игрового тестирования для выявления отклонений и обратной связи сообщества после выпуска для выявления оставшихся проблем.

Полную структуру, включая то, как Measurability интегрируется с другими столпами MEQA, см. в руководстве MEQA по игровой системе баланса , в котором описан полный подход к определению, измерению и достижению баланса между игровыми системами.

Формула масштабирования дохода в Neutronium напрямую связана с подробностями механики в /mechanics/nuclear-port-scaling, где экспоненциальная функция документирована вместе с обоснованием проектирования для каждого порогового значения.

Вероятностные инструменты для дизайнеров

Несколько инструментов делают математику игрового дизайна доступной, не требуя углубленной статистической подготовки. Это те, которые работают на практике.

AnyDice (anydice.com) — это стандартный калькулятор вероятности игральных костей для разработчиков игр. Он принимает обозначение кубиков на естественном языке (2d6, d4+d8, 3d6 сохраняет наибольшее значение 2) и возвращает распределения вероятностей, ожидаемые значения и кумулятивные вероятности. Для любого механика, использующего игральные кости, AnyDice должен быть первым инструментом, к которому следует обратиться. Его выходные графики делают распределения сразу разборчивыми и сопоставимыми — вставьте рядом два разных выражения на кубиках, чтобы сразу увидеть, чем отличаются их распределения.

Моделирование в электронных таблицах (Google Sheets, Excel) выполняет расчеты, которые AnyDice не может: накопление ресурсов в течение нескольких раундов, доход из нескольких источников, ожидаемая продолжительность игры при различных стратегических предположениях. Базовая электронная модель экономики игры — со столбцами для каждого хода, строками для каждого типа ресурсов и формулами, представляющими основные доходы и механику расходов игры — занимает 2–3 часа и выявляет проблемы баланса, для обнаружения которых эмпирическим путем потребовалось бы более 20 игровых тестов.

Моделирование Монте-Карло — это инструмент высочайшей точности: тысячи раз вычислительно запускает игровую механику для получения статистических распределений по всем возможным результатам. Для дизайнеров с опытом программирования Python с NumPy достаточен для большинства задач моделирования игр. Для дизайнеров без опыта программирования существуют визуальные инструменты Монте-Карло и даже моделирование на основе электронных таблиц, которые дают значимые результаты при ограниченных технических знаниях. Метод Монте-Карло наиболее полезен для игр со сложными взаимозависимостями, где аналитические вычисления затруднены — при взаимодействии нескольких случайных событий моделирование дает более надежные оценки распределения, чем расчет вручную.

Когда доверять математике, а когда проводить игровое тестирование: используйте математику для проверки теоретического баланса и выявления очевидных ошибок проектирования, прежде чем вкладывать средства в игровое тестирование. Используйте игровое тестирование, чтобы узнать, как человеческая психология взаимодействует с математикой — места, где оптимальная стратегия отличается от того, что на самом деле делают игроки, и места, где математика предсказывает баланс, но опыт кажется несправедливым. Оба необходимы. Ни того, ни другого недостаточно.

Часто задаваемые вопросы