Matematica dei Giochi da Tavolo: Probabilità e Valore Atteso

Ogni meccanico di giochi da tavolo ha un'identità matematica. Un lancio di dadi ha un valore atteso e una varianza. La pesca di una carta ha una distribuzione di probabilità. Uno scambio di risorse ha un tasso di cambio che può essere espresso come rapporto. I designer che comprendono questa matematica prendono decisioni migliori rispetto ai designer che lavorano in base alle sensazioni, non perché la matematica sostituisce l'intuizione, ma perché l'intuizione spesso non è d'accordo con la realtà in modi che i soli test sono lenti a correggere.

Questo articolo tratta i concetti matematici più importanti per la progettazione e il gioco di giochi da tavolo: distribuzioni di probabilità, valore atteso, varianza e divario psicologico tra ciò che dice la matematica e ciò che sperimentano i giocatori. Che tu stia progettando un gioco o semplicemente cercando di capire perché le tue sessioni di dadi sembrano così catastroficamente sfortunate, la struttura qui cambierà il modo in cui pensi alla casualità nei giochi.

Perché la matematica è importante nella progettazione di giochi

Un game designer che non ha calcolato il valore atteso dell'economia delle azioni principali del proprio gioco non sa se il gioco funziona. Sembra duro, ma è funzionalmente vero. Se il reddito atteso dalla migliore azione disponibile è di 4 risorse per round e il costo dell'azione con condizione di vittoria è di 30 risorse, il progettista deve sapere se tale tasso di reddito è raggiungibile durante la durata tipica del gioco, prima del test di gioco, non dopo sei sessioni in cui si chiede perché nessuno vince mai.

La matematica e il playtesting sono strumenti complementari, non alternativi. La matematica ti dice cosa prevede la teoria. Il playtest ti dice se il comportamento umano corrisponde alla teoria. Nella maggior parte dei casi divergono, non perché i calcoli siano sbagliati, ma perché i giocatori non sempre scelgono l’azione teoricamente ottimale. Il divario tra il gioco ottimale teorico e il gioco umano reale è esso stesso una variabile di progettazione: un gioco in cui solo il gioco ottimale produce decisioni interessanti è un gioco peggiore di uno in cui il gioco non ottimale crea anche situazioni interessanti.

Ogni meccanica ha un valore atteso e i progettisti devono conoscerlo. Quando un giocatore Neutronium: Parallel Wars ottiene entrate dai Nuclear Port, riceve un valore atteso calcolato con precisione per porta per round. Quando scelgono di attaccare anziché costruire, prendono una decisione che ha risultati attesi calcolabili in diversi scenari. Il progettista che conosce questi numeri può prendere decisioni significative sull'equilibrio; il designer che non lo fa indovina.

L'asimmetria critica è che la casualità sembra ingiusta anche quando è equilibrata. Un lancio di moneta 50/50 produce testa sei volte di seguito circa l'1,6% delle volte: raramente, ma non impossibile. Quando ciò accade a un giocatore in un gioco, lo vive come se il gioco fosse rotto, non come un normale evento statistico. Capire perché ciò accade – e come i progettisti possono strutturare la casualità per sentirsi meno punitivi pur mantenendo le stesse probabilità sottostanti – è l’applicazione più preziosa dal punto di vista pratico della matematica del game design.

Probabilità dei dadi 101

Lal singolo d6 è lo strumento di randomizzazione più comune nei giochi da tavolo e anche uno dei più fraintesi. Un d6 standard produce una distribuzione uniforme: ciascuna faccia (da 1 a 6) ha una probabilità di 1/6 che si verifichi e il valore atteso è 3,5. I giocatori lo capiscono intuitivamente, ma spesso non riescono a capire cosa significhi tiri ripetuti durante una sessione.

La distinzione singolo d6 contro 2d6 è fondamentale per capire perché le diverse meccaniche dei dadi sembrano diverse. Un singolo d6 ha una distribuzione di probabilità piatta: ogni risultato da 1 a 6 è ugualmente probabile.Due d6 sommati producono una curva a campana: 7 è il risultato più probabile (probabilità 6/36 = 16,7%), mentre 2 e 12 hanno ciascuno probabilità 1/36 = 2,8%. La distribuzione di 2d6 concentra i risultati vicino al centro e rende rari i risultati estremi. Questo è il motivo per cui Catan, che utilizza 2d6 per la produzione di risorse, sembra meno punitivo sui tiri individuali rispetto ai sistemi a dado singolo: la distribuzione limita naturalmente i risultati estremi.

I dadi personalizzati con distribuzioni delle facce non standard offrono ai progettisti un controllo preciso sui profili di probabilità che i dadi standard non possono fornire. Un dado con le facce [0, 0, 0, 1, 1, 2] ha un carattere molto diverso da un d6: produce zero il 50% delle volte, uno il 33% delle volte e due il 17% delle volte, con un valore atteso di 0,67. Neutronium: Parallel Wars utilizza dadi D6 personalizzati con facce codificate a colori: le facce blu rappresentano risultati di combattimento standard, le facce rosse rappresentano risultati critici e le facce verdi rappresentano abilità speciali. La distribuzione dei tipi di volti – non solo il numero di volti – determina la probabilità di ciascun risultato. Un dado con tre facce blu, due rosse e una verde produce risultati blu nel 50% dei casi, rossi nel 33% e verdi nel 17%. Il progettista può regolare questi rapporti modificando il numero di volti anziché creare sistemi di risoluzione matematicamente complessi.

Dadi esplosivi sono dadi che, quando si lancia il valore massimo, vengono lanciati nuovamente e si sommano i risultati. Un d6 che esplode al 6 ha un valore atteso di (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × valore atteso di un d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. La natura aperta crea risultati teoricamente illimitati - una sequenza fortunata di esplosioni può produrre totali molto alti - che produce i momenti di "sentirsi fortunati" che alcuni giochi coltivano deliberatamente. Il compromesso è un'elevata varianza e l'occasionale lancio fortunato che definisce il gioco.

I dadi delimitati seguono la filosofia opposta: limitare il risultato massimo per limitare la varianza. I sistemi di pool di dadi in cui lanci più dadi e prendi solo i migliori N risultati (sistemi di vantaggio come la meccanica del vantaggio di D&D 5E o il dado multiplo di Gumshoe) riducono matematicamente la varianza mantenendo la sensazione probabilistica. Prendendo il più alto tra due tiri d6 si sposta il valore atteso da 3,5 a 4,47 (un miglioramento del 28%) riducendo significativamente la probabilità di risultati bassi.

Valore atteso nei giochi con risorse

I giochi di accumulo di risorse – euro, costruttori di motori, strategie economiche – si basano su calcoli del valore atteso che il progettista deve comprendere con precisione anche se non appaiono mai esplicitamente nel regolamento. Quando un giocatore sceglie tra due azioni, sta (consapevolmente o meno) confrontando il valore atteso di tali azioni nell'orizzonte temporale rilevante.

Neutronium: Parallel Wars's Nuclear Port income system is an explicit example of designed expected value. La formula del reddito stabilisce che un giocatore con N Nuclear Port riceve un reddito a un tasso che scala in modo non lineare con N. La formula specifica: 1 porta produce 2 unità Neutronium per round; 10 porte producono 220 Nn per round: non è casuale.È l'affermazione esplicita del progettista che l'accumulo di porte dovrebbe produrre rendimenti esponenziali piuttosto che lineari, perché i rendimenti esponenziali creano la soglia di coalizione che guida le dinamiche competitive del gioco.

Questa formula è un design di gioco intenzionale espresso come matematica. Il divario tra il reddito di 7 porti (42 Nn/round) e il reddito di 10 porti (220 Nn/round) è l’argomentazione economica per cui le coalizioni si formano alla soglia dei 7 porti piuttosto che aspettare fino a 9 o 10 porti. In 7 porti, il giocatore ha entrate sufficienti per essere minaccioso, ma l’azione della coalizione può comunque essere decisiva prima che il vantaggio in termini di entrate diventi matematicamente insormontabile. Un designer che arrivasse a questi numeri solo attraverso il playtest potrebbe ottenerli più o meno giusti; un progettista che comprendesse fin dall'inizio la funzione esponenziale potrebbe specificare la soglia con precisione.

Lil principio più ampio: quando il ridimensionamento esponenziale è un game design intenzionale, il progettista deve documentare la funzione di ridimensionamento e verificare che le soglie create siano dove le desidera. Se la soglia della coalizione dovesse essere pari a 6 porti anziché a 7, la formula del reddito dovrebbe essere modificata, il che richiede di sapere qual è la formula, non solo osservare che “il gioco sembra equilibrato”.

Varianza e percezione del giocatore

La varianza è la misura di quanto i risultati effettivi si diffondono attorno al valore atteso. Una varianza elevata significa che i risultati individuali possono differire notevolmente dalle aspettative; una varianza bassa significa che i risultati si raggruppano strettamente attorno alla media. Per i game designer, la varianza è una manopola di controllo che influenza sia l'equità matematica del gioco sia l'esperienza soggettiva di giocarci.

La intuizione psicologica chiave: un'elevata varianza fa sentire male anche quando è matematicamente bilanciata. Il lancio di una moneta è perfettamente corretto – 50/50, valore atteso esattamente uguale per entrambi i giocatori – ma giocare a un gioco in cui ogni decisione viene risolta dal lancio di una moneta sembra arbitrario e poco gratificante. I giocatori devono sentire che le loro decisioni contano, il che significa che hanno bisogno che la connessione causale tra buone decisioni e buoni risultati sia percepibile all’interno della sessione di gioco. Una varianza elevata interrompe tale connessione.

LIl problema esadecimale 7 contro 2 Catan lo illustra chiaramente. A Catan, il numero 7 è stampato sul maggior numero di esagoni perché ha la probabilità più alta con 2d6 (16,7%). Il numero 2 è stampato sul minor numero di esagoni (2,8%). I giocatori esperti sanno che è necessario dare priorità alle risorse sugli esagoni 6, 8, 5 e 9: esagoni ad alta probabilità. Ma in ogni sessione, un giocatore che posiziona correttamente i propri insediamenti iniziali su questi esagoni può comunque essere significativamente sottoperformato da un giocatore con posizionamenti con probabilità inferiore se i tiri di dado effettivi si discostano dai valori attesi. Ciò non è ingiusto: è una normale variazione statistica.Ma sembra ingiusto perché la relazione tra la decisione (buon posizionamento) e il risultato (reddito frequente delle risorse) è oscurata dalla varianza.

Le soluzioni progettuali per la gestione dell'ingiustizia percepita dalla varianza includono: meccaniche di mitigazione (rilanci, riserve di risorse, meccanismi di recupero che si attivano durante le corse sfortunate), punti decisionali che rimangono significativi anche dopo la sfortuna (quindi un giocatore che tira ancora male ha scelte interessanti) e varianza che favorisce i giocatori in coda (recupero tramite varianza: il giocatore in testa vuole un reddito stabile e prevedibile; i giocatori in coda beneficiano di approcci ad alta varianza che possono colmare rapidamente il divario, anche se il valore atteso è lo stesso).

I momenti Kingmaker dei dadi, in cui un lancio casuale determina quale giocatore vince o perde nel round finale, sono i risultati di varianza più dannosi per la soddisfazione del giocatore. La soluzione non è eliminare i dadi ma strutturare la fase finale del gioco in modo che i risultati dei dadi influenzino il percorso verso la vittoria anziché determinarlo a titolo definitivo. Quando più giocatori hanno posizioni vincenti valide prima del round finale, un tiro fortunato è soddisfacente per il vincitore ma non sembra illegittimo per i perdenti, perché anche i perdenti avevano un percorso per vincere che avrebbe potuto essere consentito dai loro tiri fortunati.

Test di equilibrio con la matematica

La struttura MEQA (misurabilità, coinvolgimento, qualità, accessibilità) fornisce un approccio strutturato al test del bilanciamento del gioco. Il pilastro della misurabilità — la M in MEQA — è il punto in cui la matematica entra formalmente nel processo di progettazione: prima che inizi il playtest, il progettista definisce cosa significa "bilanciato" in termini misurabili.

Per un gioco con fazioni asimmetriche come Neutronium: Parallel Wars, equilibrio misurabile significa: ciascuna fazione dovrebbe raggiungere un tasso di vittoria entro una fascia di tolleranza definita su un campione sufficiente di giochi con livelli di abilità comparabili. Se l'obiettivo è una percentuale di vincita del 50% (bilanciamento puro) con un intervallo accettabile di ±10%, allora una fazione che vince il 42% delle partite rientra nella tolleranza e una fazione che vince il 63% non lo è. Ma per raggiungere questo standard è necessario conoscere l'obiettivo prima del test, senza dichiarare a posteriori che i tassi di vincita osservati sono "abbastanza vicini".

Definire le metriche prima del playtest cambia ciò che osservi. Se sai che stai misurando la percentuale di vittorie per fazione, tieni traccia delle assegnazioni delle fazioni e dei risultati durante le sessioni. Se sai che stai misurando la durata media del gioco, registri i timestamp. Queste decisioni devono essere prese prima della prima sessione di playtest, perché i parametri retrospettivi non sono affidabili: la memoria è selettiva e gli esseri umani ricordano naturalmente le sessioni che supportano le credenze esistenti.

I requisiti relativi alle dimensioni del campione per le conclusioni sul bilancio sono spesso più grandi di quanto i progettisti si aspettano. Per una partita a 2 giocatori con 2 fazioni, 30 partite forniscono dati di base per rilevare squilibri superiori al 15% con una confidenza dell'80%. Per le partite a 4 giocatori con 6 fazioni, lo spazio di combinazione è molto più ampio: 30 partite danno circa 5 partite per coppia di fazioni: appena sufficienti per individuare squilibri estremi e insufficienti per individuare sottili vantaggi.Gli editori indipendenti raramente hanno le risorse per una rigorosa convalida statistica; l'approccio pratico consiste nell'utilizzare la matematica per verificare i valori attesi, il playtest per individuare i valori anomali e il feedback della community dopo il rilascio per identificare i problemi sopravvissuti.

Per il quadro completo, incluso il modo in cui la misurabilità si integra con gli altri pilastri MEQA, vedere la guida MEQA al bilanciamento del gioco, che copre l'approccio completo alla definizione, misurazione e raggiungimento dell'equilibrio tra i sistemi di gioco.

La formula di dimensionamento del reddito in Neutronium si collega direttamente ai dettagli della meccanica in /mechanics/nuclear-port-scaling, dove la funzione esponenziale è documentata insieme al ragionamento di progettazione per ciascun valore di soglia.

Strumenti di probabilità per progettisti

Diversi strumenti rendono accessibile la matematica di progettazione dei giochi senza richiedere una formazione statistica avanzata. Questi sono quelli che funzionano nella pratica.

AnyDice (anydice.com) è il calcolatore di probabilità dei dadi standard per i progettisti di giochi. Accetta la notazione dei dadi in linguaggio naturale (2d6, d4+d8, 3d6 mantieni il 2 più alto) e restituisce distribuzioni di probabilità, valori attesi e probabilità cumulative. For any mechanic involving dice, AnyDice should be the first tool consulted. I suoi grafici di output rendono le distribuzioni immediatamente leggibili e confrontabili: incolla due diverse espressioni di dadi fianco a fianco per vedere immediatamente come differiscono le loro distribuzioni.

Simulazioni di fogli di calcolo (Google Fogli, Excel) gestiscono calcoli che AnyDice non può: accumulo di risorse su più round, reddito con più fonti, durata prevista del gioco in base a diversi presupposti strategici. Un modello di foglio di calcolo di base dell'economia di un gioco - con colonne per ogni turno, righe per ogni tipo di risorsa e formule che rappresentano le entrate principali del gioco e i meccanismi di spesa - richiede 2-3 ore per essere costruito e rivela problemi di equilibrio che richiederebbero più di 20 playtest per essere scoperti empiricamente.

Simulazione Monte Carlo è lo strumento di massima precisione: esegue i meccanismi di un gioco migliaia di volte a livello computazionale per produrre distribuzioni statistiche su tutti i possibili risultati. Per i progettisti con esperienza di programmazione, Python con NumPy è sufficiente per la maggior parte delle esigenze di simulazione di giochi. Per i progettisti senza esperienza di programmazione, sono disponibili strumenti Monte Carlo visivi e persino simulazioni basate su fogli di calcolo che producono risultati significativi con conoscenze tecniche limitate. Monte Carlo è particolarmente utile per i giochi con interdipendenze complesse in cui il calcolo analitico è difficile: quando interagiscono più eventi casuali, la simulazione produce stime di distribuzione più affidabili rispetto al calcolo manuale.

Quando fidarsi della matematica rispetto a quando effettuare il playtest: usa la matematica per verificare l'equilibrio teorico e individuare evidenti errori di progettazione prima di investire nel playtest. Usa il playtest per scoprire come la psicologia umana interagisce con la matematica: i luoghi in cui la strategia ottimale differisce da ciò che effettivamente fanno i giocatori e i luoghi in cui la matematica prevede l'equilibrio ma l'esperienza sembra ingiusta. Entrambi sono necessari. Nessuno dei due è sufficiente da solo.

Domande frequenti