Galda spēļu matemātika: varbūtība, paredzamā vērtība un kāpēc kauliņi jūtas negodīgi

Katram galda spēļu mehāniķim ir matemātiska identitāte. Kauliņu metienam ir paredzamā vērtība un dispersija. Kāršu izlozei ir varbūtības sadalījums. Resursu tirdzniecībai ir valūtas kurss, ko var izteikt kā attiecību. Dizaineri, kuri saprot šo matemātiku, pieņem labākus lēmumus nekā dizaineri, kuri strādā pēc izjūtas — nevis tāpēc, ka matemātika aizstāj intuīciju, bet gan tāpēc, ka intuīcija bieži nesakrīt ar realitāti tādā veidā, ka testēšana vien ir lēni labojama.

Šajā rakstā ir apskatīti matemātiskie jēdzieni, kas ir vissvarīgākie galda spēļu izstrādē un spēlēšanā: varbūtības sadalījums, paredzamā vērtība, dispersija un psiholoģiskā atšķirība starp matemātikas teikto un spēlētāju pieredzi. Neatkarīgi no tā, vai plānojat spēli vai vienkārši mēģināt saprast, kāpēc jūsu kauliņu sesijas šķiet tik katastrofāli neveiksmīgas, šeit esošā sistēma mainīs jūsu domāšanu par nejaušību spēlēs.

Kāpēc matemātika ir svarīga spēles dizainā

A spēļu dizainers, kurš nav aprēķinājis savas spēles pamatdarbības ekonomikas paredzamo vērtību, nezina, vai viņa spēle darbojas. Tas izklausās skarbi, taču funkcionāli tā ir patiesība. Ja paredzamie ienākumi no labākās pieejamās darbības ir 4 resursi vienā kārtā un uzvaras nosacījuma darbības izmaksas ir 30 resursi, izstrādātājam ir jāzina, vai šis ienākumu līmenis ir sasniedzams spēles parastajā ilgumā — pirms spēles pārbaudes, nevis pēc sešām sesijām, prātojot, kāpēc neviens nekad neuzvar.

Math un atskaņošanas testēšana ir papildinoši rīki, nevis alternatīvas. Matemātika stāsta, ko teorija paredz. Playtesting parāda, vai cilvēka uzvedība atbilst teorijai. Lielāko daļu laika tie atšķiras — nevis tāpēc, ka matemātika ir nepareiza, bet gan tāpēc, ka spēlētāji ne vienmēr izvēlas teorētiski optimālo darbību. Plaisa starp teorētisko optimālo spēli un faktisko cilvēka spēli pati par sevi ir dizaina mainīgais: spēle, kurā tikai optimāla spēle rada interesantus lēmumus, ir sliktāka nekā spēle, kurā arī neoptimāla spēle rada interesantas situācijas.

Katram mehāniķim ir paredzamā vērtība, un dizaineriem tā ir jāzina. Kad Neutronium: Parallel Wars spēlētājs gūst ienākumus no Nuclear Port, viņi saņem precīzi aprēķinātu paredzamo vērtību katrā portā. Kad viņi izvēlas uzbrukt, nevis būvēt, viņi pieņem lēmumu, kuram ir izskaitļojami sagaidāmie rezultāti dažādos scenārijos. Dizainers, kurš zina šos skaitļus, var pieņemt nozīmīgus līdzsvara lēmumus; dizainers, kurš to nedara, uzmin.

Kritiskā asimetrija ir tāda, ka nejaušība šķiet negodīga pat tad, ja tā ir līdzsvarota. Apmetot 50/50 monētu, sešas reizes pēc kārtas tiek uzmestas galviņas aptuveni 1,6% gadījumu — reti, bet ne neiespējami. Kad tas notiek ar spēlētāju spēlē, viņš to izjūt kā spēles pārtraukumu, nevis kā parastu statistikas notikumu. Izpratne, kāpēc tā notiek — un kā dizaineri var strukturēt nejaušību, lai justos mazāk sodāmi, vienlaikus saglabājot tās pašas pamatā esošās varbūtības, ir praktiski vērtīgākais spēļu dizaina matemātikas pielietojums.

Dice varbūtība 101

Singls d6 ir visizplatītākais nejaušināšanas rīks galda spēlēs un arī viens no visvairāk pārprastajiem. Standarts d6 rada vienmērīgu sadalījumu: katrai skaldnei (no 1 līdz 6) ir 1/6 rašanās iespējamība, un paredzamā vērtība ir 3,5. Spēlētāji to intuitīvi saprot, bet bieži vien nesaprot, ko nozīmē atkārtota sesijas apgāšanās.

viena d6 un 2d6 atšķirība ir pamats, lai saprastu, kāpēc dažādi kauliņu mehāniķi jūtas atšķirīgi. Vienam d6 ir plakans varbūtības sadalījums — katrs rezultāts no 1 līdz 6 ir vienlīdz iespējams.Divas d6 summētas rada zvana līkni: 7 ir visticamākais rezultāts (varbūtība 6/36 = 16,7%), savukārt 2 un 12 katram ir iespējamība 1/36 = 2,8%. 2d6 sadalījums koncentrē rezultātus tuvu vidum un padara ārkārtējus rezultātus reti. Tāpēc Catan, kas resursu ražošanai izmanto 2d6, atsevišķiem ruļļiem jūtas mazāk sodāms nekā vienas formas sistēmas — izplatīšana, protams, ierobežo ekstremālus rezultātus.

Pielāgoti kauliņi ar nestandarta seju sadalījumu sniedz dizaineriem precīzu kontroli pār varbūtības profiliem, ko standarta kauliņi nevar nodrošināt. Metālam ar skaldnēm [0, 0, 0, 1, 1, 2] ir ļoti atšķirīgs raksturs nekā d6: tas rada nulli 50% laika, vienu 33% laika un divus 17% laika ar paredzamo vērtību 0,67. Neutronium: Parallel Wars izmanto pielāgotus D6 kauliņus ar krāsu kodētām sejām: zilas sejas apzīmē standarta kaujas rezultātus, sarkanās sejas apzīmē kritiskos rezultātus, un zaļās sejas apzīmē īpašus spēju izraisītājus. Seju veidu sadalījums — ne tikai seju skaits — nosaka katra iznākuma iespējamību. Kabulis ar trim zilām, divām sarkanām un vienu zaļām sejām 50% gadījumu rada zilu iznākumu, 33% - sarkanu un 17% - zaļu. Dizainers var pielāgot šīs attiecības, mainot seju skaitu, nevis veidojot matemātiski sarežģītas izšķirtspējas sistēmas.

Eksplodējošie kauliņi ir kauliņi, kas, metot maksimālo vērtību, tiek izmesti vēlreiz un rezultāti tiek pievienoti. d6, kas eksplodē uz 6, paredzamā vērtība ir (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × paredzamā d6 vērtība) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Atvērtais raksturs rada teorētiski neierobežotus rezultātus — laimīga sprādzienu secība var radīt ļoti augstus kopsummas —, kas rada "veiksmes sajūtas" mirkļus, ko dažas spēles apzināti kultivē. Kompromiss ir liela dispersija un neregulāra spēle, kas nosaka veiksmi.

Ierobežoti kauliņi ir pretēja filozofija: maksimālā rezultāta ierobežošana, lai ierobežotu dispersiju. Kauliņu kopas sistēmas, kurās jūs metāt vairākus kauliņus un iegūstat tikai labākos N rezultātus (priekšrocību sistēmas, piemēram, D&D 5E priekšrocības mehāniķis vai Gumshoe vairāku kauliņu maksimālā vērtība), matemātiski samazina dispersiju, vienlaikus saglabājot varbūtības sajūtu. Ņemot augstāko no diviem d6 rullīšiem, paredzamā vērtība tiek novirzīta no 3,5 uz 4,47 — tas ir par 28% uzlabojums, vienlaikus ievērojami samazinot zemu rezultātu iespējamību.

Paredzamā vērtība resursu spēlēs

Resursu uzkrāšanas spēles — eiro, dzinēju būvētāji, ekonomiskās stratēģijas — ir balstītas uz paredzamās vērtības aprēķiniem, kas projektētājam ir jāsaprot precīzi, pat ja tie nekad nav skaidri norādīti noteikumu grāmatā. Kad spēlētājs izvēlas vienu no divām darbībām, viņš (apzināti vai ne) salīdzina šo darbību paredzamo vērtību attiecīgajā laika periodā.

Neutronium: Parallel Wars ienākumu sistēma Nuclear Port ir skaidrs izstrādātās paredzamās vērtības piemērs. Ienākumu formula nosaka, ka spēlētājs ar N Nuclear Port saņem ienākumus ar likmi, kas nelineāri mērogojas ar N. Īpašā formula — 1 ports dod 2 Neutronium vienības katrā kārtā; 10 porti dod 220 Nn vienā kārtā — tas nav nejaušs.Tas ir dizainera nepārprotams apgalvojums, ka portu uzkrāšanai vajadzētu radīt eksponenciālu, nevis lineāru atdevi, jo eksponenciālā atdeve rada koalīcijas slieksni, kas virza spēles konkurences dinamiku.

Šī formula ir tīšs spēles dizains, kas izteikts kā matemātika. Plaisa starp 7 ostu ienākumiem (42 Nn/kārta) un 10 ostu ienākumiem (220 Nn/kārta) ir ekonomisks arguments, kāpēc koalīcijas veidojas pie 7 ostu sliekšņa, nevis jāgaida līdz 9 vai 10 ostām. 7 ostās spēlētājam ir pietiekami daudz ienākumu, lai viņš būtu apdraudēts, taču koalīcijas darbība joprojām var būt izšķiroša, pirms ienākumu priekšrocības kļūst matemātiski nepārvaramas. Dizainers, kurš nonācis pie šiem skaitļiem, izmantojot tikai atskaņošanas testēšanu, varētu tos iegūt aptuveni pareizi; dizainers, kurš jau no paša sākuma saprata eksponenciālo funkciju, varētu precīzi norādīt slieksni.

Plašāks princips: Ja eksponenciālā mērogošana ir apzināta spēles izstrāde, dizainerim ir jādokumentē mērogošanas funkcija un jāpārbauda, vai tās izveidotie sliekšņi atrodas tur, kur viņi tos vēlas. Ja koalīcijas slieksnim vajadzētu būt 6 portiem, nevis 7, ienākumu formula ir jākoriģē — tas prasa zināt, kāda ir formula, nevis tikai ievērot, ka "spēle jūtas līdzsvarota".

Variance un atskaņotāja uztvere

Variance ir mērījums, kas parāda, cik daudz faktisko rezultātu izkliedē ap sagaidāmo vērtību. Liela dispersija nozīmē, ka individuālie rezultāti var krasi atšķirties no gaidītā; zema dispersija nozīmē, ka rezultāti ir cieši saistīti ar vidējo. Spēļu dizaineriem dispersija ir vadības poga, kas ietekmē gan spēles matemātisko godīgumu, gan subjektīvo spēles pieredzi.

Galvenais psiholoģiskais ieskats: Liela dispersija ir slikta pat tad, ja tā ir matemātiski līdzsvarota. Monētas mešana ir pilnīgi godīga — 50/50, paredzamā vērtība abiem spēlētājiem ir tieši vienāda, taču, spēlējot spēli, kurā katrs lēmums tiek atrisināts ar monētas mešanu, šķiet, ka tā ir patvaļīga un neapmierinoša. Spēlētājiem ir jājūt, ka viņu lēmumi ir svarīgi, kas nozīmē, ka viņiem ir nepieciešama cēloņsakarība starp labiem lēmumiem un labiem rezultātiem, lai tie būtu pamanāmi spēles sesijas laikā. Liela dispersija pārtrauc šo savienojumu.

7 pret 2 Catan hex problēma to skaidri parāda. Katanā skaitlis 7 tiek drukāts uz visvairāk sešstūriem, jo ​​tam ir vislielākā varbūtība ar 2d6 (16,7%). Skaitlis 2 ir uzdrukāts uz vismazāk sešstūriem (2,8%). Pieredzējuši spēlētāji zina piešķirt prioritāti resursiem 6s, 8s, 5s un 9s — lielas varbūtības heksades. Taču jebkurā konkrētajā sesijā spēlētājs, kurš pareizi novieto savus sākotnējos norēķinus uz šiem sešstūriem, joprojām var ievērojami atpalikt no spēlētāja ar mazāku varbūtības izvietojumu, ja faktiskie kauliņu mešanas rādītāji atšķiras no paredzamajām vērtībām. Tas nav negodīgi — tā ir normāla statistiskā atšķirība.Taču tas šķiet netaisnīgi, jo attiecības starp lēmumu (labs izvietojums) un iznākumu (bieži resursu ienākumi) ir aizēnotas ar dispersiju.

Dizaina risinājumi, lai pārvaldītu uztverto netaisnību no dispersijas, ir šādi: mazināšanas mehānika (atkārtoti rullīši, resursu bankas, atgūšanas mehānismi, kas aktivizējas neveiksmīgas darbības gadījumā), pat pēc sliktajiem punktiem, kas paliek nozīmīgi. veiksme (tātad spēlētājam, kurš met slikti, joprojām ir interesantas izvēles iespējas) un variance, kas dod priekšroku pēdējiem spēlētājiem (panākšana caur dispersiju: vadošais spēlētājs vēlas stabilus, paredzamus ienākumus; pēdējie spēlētāji gūst labumu no sagaidāmās vērtības, kas var ātri sasniegt pat lielu dispersiju pieeju. tas pats).

Kingmaker mirkļi no kauliņiem — kur nejaušs metiens nosaka, kurš spēlētājs uzvar vai zaudē pēdējā raundā — ir visizplatītākie dispersijas rezultāti spēlētāju apmierinātībai. Risinājums ir nevis kauliņu likvidēšana, bet gan vēlīnās spēles strukturēšana, lai kauliņu iznākumi ietekmētu ceļu uz uzvaru, nevis to tieši noteiktu. Ja vairākiem spēlētājiem ir dzīvotspējīgas uzvaras pozīcijas, kas iekļūst pēdējā kārtā, laimīgais metiens apmierina uzvarētāju, bet nejūtas neleģitīms pret zaudētājiem — jo arī zaudētājiem bija ceļš uz uzvaru, ko varēja nodrošināt viņu pašu laimīgie metieni.

Līdzsvara pārbaude ar Math

MEQA sistēma (izmērāmība, iesaistīšanās, kvalitāte, pieejamība) nodrošina strukturētu pieeju spēļu līdzsvara testēšanai. Izmērāmības pīlārs — M formā MEQA — ir vieta, kur matemātika formāli iekļūst projektēšanas procesā: pirms spēles testēšanas sākuma dizainers definē, ko nozīmē "līdzsvarots" izmērāmā izteiksmē.

Spēlei ar asimetriskām grupām, piemēram, Neutronium: Parallel Wars, izmērāms līdzsvars nozīmē: katrai frakcijai ir jāsasniedz uzvaras līmenis noteiktā pielaides diapazonā pietiekamā spēļu izlasē ar salīdzināmu prasmju līmeni. Ja mērķis ir 50% uzvaras līmenis (tīrais atlikums) ar ±10% pieņemamu diapazonu, tad frakcija, kas uzvar 42% spēļu, ir pieļaujamā robežās, bet frakcija, kas uzvar 63% - ne. Taču, lai sasniegtu šo standartu, pirms testēšanas ir jāzina mērķis — post-hoc nevajadzētu paziņot, ka novērotais uzvaras līmenis ir "pietiekami tuvs".

Metrikas definēšana pirms atskaņošanas testēšanas maina to, ko novērojat. Ja zināt, ka novērtējat katras frakcijas uzvaras līmeni, jūs sekojat frakciju uzdevumiem un rezultātiem sesijās. Ja zināt, ka mēra vidējo spēles ilgumu, ierakstāt laikspiedolus. Šie lēmumi ir jāpieņem pirms pirmās atskaņošanas pārbaudes sesijas, jo retrospektīvie rādītāji ir neuzticami — atmiņa ir selektīva, un cilvēki, protams, atceras sesijas, kas atbalsta esošos uzskatus.

Līdzsvara secinājumu parauga lieluma prasības bieži vien ir lielākas, nekā dizaineri sagaida. 2 spēlētāju spēlei ar 2 grupām 30 spēles nodrošina bāzes datus, lai ar 80 % ticamību noteiktu nelīdzsvarotību, kas lielāka par 15%. 4 spēlētāju spēlēm ar 6 grupām kombinācijas telpa ir daudz lielāka: 30 spēles nodrošina aptuveni 5 spēles katram frakciju pārim — tas ir gandrīz pietiekami, lai noteiktu galēju nelīdzsvarotību, un nepietiek, lai noteiktu smalkas priekšrocības.Indie izdevējiem reti ir resursi stingrai statistikas apstiprināšanai; praktiskā pieeja ir izmantot matemātiku, lai pārbaudītu paredzamās vērtības, atskaņošanas testēšanu, lai panāktu novirzes, un kopienas atsauksmes pēc izlaišanas, lai identificētu pastāvošās problēmas.

Lai iegūtu pilnu ietvaru — tostarp to, kā izmērāmība tiek integrēta ar citiem MEQA pīlāriem — skatiet MEQA spēļu līdzsvara ietvara rokasgrāmatu, kas aptver visu pieeju līdzsvaram, spēles definēšanai un definēšanai. sistēmas.

Ienākumu mērogošanas formula programmā Neutronium ir tieši savienota ar mehānikas detaļām vietnē /mechanics/nuclear-port-scaling, kur eksponenciālā funkcija ir dokumentēta līdzās katras vērtības QZXA01 projektēšanas argumentācijai.

Iespējamības rīki dizaineriem

Vairāki rīki padara spēļu dizaina matemātiku pieejamu bez papildu statistikas apmācības. Tie ir tie, kas darbojas praksē.

AnyDice (anydice.com) ir standarta kauliņu varbūtības kalkulators spēļu dizaineriem. Tas pieņem dabiskās valodas kauliņu apzīmējumus (2d6, d4+d8, 3d6 saglabā augstāko 2) un atgriež varbūtības sadalījumu, paredzamās vērtības un kumulatīvās varbūtības. Jebkuram mehāniķim, kurš izmanto kauliņus, AnyDice ir jābūt pirmajam rīkam, ar kuru jākonsultējas. Tās izvades diagrammas padara sadalījumus uzreiz salasāmus un salīdzināmus — ielīmējiet divas dažādas kauliņu izteiksmes blakus, lai uzreiz redzētu, kā to sadalījums atšķiras.

Izklājlapu simulācijas (Google Sheets, Excel) apstrādā aprēķinus, ko AnyDice nevar: resursu uzkrāšana vairākās kārtās, ienākumi no vairākiem avotiem, paredzamie spēles garumi dažādos stratēģiskajos posmos. Spēles ekonomikas pamata izklājlapas modeļa izveide ar kolonnām katram gājienam, rindām katram resursa veidam un formulām, kas atspoguļo spēles galvenos ienākumus un tēriņu mehānismus, aizņem 2–3 stundas, un tas atklāj līdzsvara problēmas, kuru empīriskai atklāšanai būtu nepieciešami vairāk nekā 20 spēles testi.

Montekarlo simulācija ir visaugstākās precizitātes rīks: spēles mehānikas darbība tūkstošiem reižu skaitļošanas veidā, lai izveidotu statistisku sadalījumu visos iespējamos iznākumos. Dizaineriem ar programmēšanas pieredzi Python ar NumPy ir pietiekams lielākajai daļai spēļu simulācijas vajadzību. Dizaineriem bez programmēšanas pieredzes ir pieejami vizuāli Monte Carlo rīki un pat uz izklājlapām balstītas simulācijas, kas rada nozīmīgus rezultātus ar ierobežotām tehniskajām zināšanām. Monte Carlo ir visvērtīgākā spēlēm ar sarežģītām savstarpējām atkarībām, kurās ir grūti veikt analītisko aprēķinu — kad mijiedarbojas vairāki nejauši notikumi, simulācija rada ticamākus sadalījuma aprēķinus nekā manuāls aprēķins.

Kad uzticēties matemātikai salīdzinājumā ar atskaņošanas testēšanas laiku: izmantojiet matemātiku, lai pārbaudītu teorētisko līdzsvaru un atklātu acīmredzamas dizaina kļūdas, pirms ieguldāt spēles testēšanā. Izmantojiet spēļu testēšanu, lai atklātu, kā cilvēka psiholoģija mijiedarbojas ar matemātiku — vietas, kur optimālā stratēģija atšķiras no tā, ko spēlētāji faktiski dara, un vietas, kur matemātika paredz līdzsvaru, bet pieredze šķiet negodīga. Abi ir nepieciešami. Ne viens, ne otrs nav pietiekami.

Bieži uzdotie jautājumi