Matematyka w grach planszowych: prawdopodobieństwo, wartość oczekiwana i dlaczego kości wydają się niesprawiedliwe

Każda mechanika gry planszowej ma matematyczną tożsamość. Rzut kostką ma wartość oczekiwaną i wariancję. Losowanie kart ma rozkład prawdopodobieństwa. Handel zasobami ma kurs wymiany, który można wyrazić jako stosunek. Projektanci, którzy rozumieją tę matematykę, podejmują lepsze decyzje niż projektanci, którzy działają na podstawie wyczucia — nie dlatego, że matematyka zastępuje intuicję, ale dlatego, że intuicja często nie zgadza się z rzeczywistością w sposób, którego naprawienie samym testowaniem jest powolne.

W tym artykule omówiono pojęcia matematyczne, które mają największe znaczenie przy projektowaniu i zabawie gier planszowych: rozkłady prawdopodobieństwa, wartość oczekiwana, wariancja i psychologiczna luka między tym, co mówi matematyka, a tym, czego doświadczają gracze. Niezależnie od tego, czy projektujesz grę, czy po prostu próbujesz zrozumieć, dlaczego Twoje sesje z kostkami wydają się tak katastrofalnie pechowe, przedstawione tutaj ramy zmienią Twoje myślenie o losowości w grach.

Dlaczego matematyka jest ważna w projektowaniu gier

Projektant gry, który nie obliczył oczekiwanej wartości ekonomii akcji swojej gry, nie wie, czy jej gra działa. Brzmi to surowo, ale jest funkcjonalnie prawdziwe. Jeśli oczekiwany dochód z najlepszej dostępnej akcji wynosi 4 zasoby na rundę, a koszt akcji warunku zwycięstwa wynosi 30 zasobów, projektant musi wiedzieć, czy ten wskaźnik dochodu jest osiągalny w typowym czasie trwania gry – przed testowaniem gry, a nie po sześciu sesjach zastanawiania się, dlaczego nikt nigdy nie wygrywa.

Matematyka i testowanie to narzędzia uzupełniające, a nie alternatywy. Matematyka mówi ci, co przewiduje teoria. Testowanie rozgrywki pozwala sprawdzić, czy ludzkie zachowanie odpowiada teorii. W większości przypadków są one odmienne — nie dlatego, że matematyka jest błędna, ale dlatego, że gracze nie zawsze wybierają teoretycznie optymalne działanie. Rozbieżność między teoretyczną optymalną grą a rzeczywistą grą ludzką sama w sobie jest zmienną projektową: gra, w której tylko optymalna gra prowadzi do interesujących decyzji, jest gorszą grą niż ta, w której suboptymalna gra również stwarza interesujące sytuacje.

Każda mechanika ma oczekiwaną wartość i projektanci muszą ją znać. Kiedy gracz Neutronium: Parallel Wars uzyskuje dochód z Nuclear Port, otrzymuje dokładnie obliczoną oczekiwaną wartość na port na rundę. Kiedy decydują się atakować, a nie budować, podejmują decyzję, której oczekiwane wyniki można obliczyć w różnych scenariuszach. Projektant znający te liczby może podejmować znaczące decyzje dotyczące równowagi; projektant, który tego nie robi, zgaduje.

Krytyczna asymetria polega na tym, że losowość wydaje się niesprawiedliwa, nawet jeśli jest zrównoważona. Rzut monetą 50/50 powoduje reszki sześć razy z rzędu w około 1,6% przypadków – rzadko, ale nie jest to niemożliwe. Kiedy coś takiego przydarza się graczowi w grze, odbiera to jako zepsucie gry, a nie zwykłe zdarzenie statystyczne. Zrozumienie, dlaczego tak się dzieje — i w jaki sposób projektanci mogą uporządkować losowość, aby odczuwać mniej kary, zachowując te same podstawowe prawdopodobieństwa — jest z praktycznego punktu widzenia najcenniejszym zastosowaniem matematyki przy projektowaniu gier.

Prawdopodobieństwo rzutu 101

Pojedyncza k6 to najpopularniejsze narzędzie randomizacji w grach planszowych, a także jedno z najbardziej niezrozumianych. Standardowe d6 daje rozkład równomierny: prawdopodobieństwo wystąpienia każdej ściany (od 1 do 6) wynosi 1/6, a wartość oczekiwana wynosi 3,5. Gracze intuicyjnie to rozumieją, ale często nie rozumieją, co to znaczy powtarzające się rzuty w trakcie sesji.

Rozróżnienie pojedyncze k6 i 2k6 ma fundamentalne znaczenie dla zrozumienia, dlaczego mechanika różnych kości wygląda inaczej. Pojedyncze d6 ma płaski rozkład prawdopodobieństwa — każdy wynik od 1 do 6 jest równie prawdopodobny. Zsumowane dwa d6 dają krzywą dzwonową: najbardziej prawdopodobny wynik to 7 (prawdopodobieństwo 6/36 = 16,7%), podczas gdy 2 i 12 mają prawdopodobieństwo 1/36 = 2,8%. Rozkład 2k6 koncentruje wyniki blisko środka i sprawia, że ​​ekstremalne wyniki są rzadkie. Właśnie dlatego Catan, który wykorzystuje 2k6 do produkcji zasobów, wydaje się mniej karliwy w przypadku pojedynczych rzutów niż w przypadku systemów z jedną kostką — dystrybucja w naturalny sposób ogranicza ekstremalne wyniki.

Niestandardowe kości z niestandardowymi rozkładami ścianek dają projektantom precyzyjną kontrolę nad profilami prawdopodobieństwa, której nie zapewniają standardowe kości. Kostka o ściankach [0, 0, 0, 1, 1, 2] ma zupełnie inny charakter niż k6: daje zero w 50% przypadków, jedną w 33% przypadków i dwie w 17% przypadków, przy oczekiwanej wartości 0,67. Neutronium: Parallel Wars wykorzystuje niestandardowe kości K6 z kolorowymi ściankami: niebieskie ścianki reprezentują standardowe wyniki walki, czerwone ścianki przedstawiają krytyczne wyniki, a zielone ścianki reprezentują wyzwalacze zdolności specjalnych. Rozkład typów twarzy — a nie tylko liczba twarzy — określa prawdopodobieństwo każdego wyniku. Kość z trzema niebieskimi ściankami, dwiema czerwonymi ściankami i jedną zieloną ścianką daje niebieskie wyniki w 50% przypadków, czerwone w 33% i zielone w 17%. Projektant może dostosować te współczynniki, zmieniając liczbę twarzy, zamiast tworzyć matematycznie złożone systemy rozdzielczości.

Wybuchające kości to kości, którymi po wyrzuceniu maksymalnej wartości rzuca się ponownie i dodaje wyniki. d6, które eksploduje na 6, ma oczekiwaną wartość (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × oczekiwana wartość a d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Otwarty charakter daje teoretycznie nieograniczone wyniki — szczęśliwa sekwencja eksplozji może dać bardzo wysokie sumy — co powoduje chwile „poczucia szczęścia”, które celowo kultywują niektóre gry. Kompromisem jest duża wariancja i okazjonalny szczęśliwy rzut decydujący o grze.

Ograniczone kości to filozofia odwrotna: ograniczanie maksymalnego wyniku w celu ograniczenia wariancji. Systemy puli kości, w których rzucasz wieloma kośćmi i wybierasz tylko N najlepszych wyników (systemy przewagi, takie jak mechanika przewagi w D&D 5E lub najwyższy wynik w przypadku wielu kości w Gumshoe), matematycznie zmniejszają wariancję, zachowując jednocześnie poczucie probabilistyki. Wykonanie wyższego z dwóch rzutów k6 przesuwa oczekiwaną wartość z 3,5 do 4,47 – co stanowi poprawę o 28% – jednocześnie znacznie zmniejszając prawdopodobieństwo uzyskania niskich wyników.

Oczekiwana wartość w grach z zasobami

Gry akumulacji zasobów — euro, konstruktorzy silników, strategie ekonomiczne — opierają się na obliczeniach wartości oczekiwanej, które projektant musi dokładnie zrozumieć, nawet jeśli nigdy nie pojawiają się one bezpośrednio w zbiorze zasad. Kiedy gracz wybiera jedno z dwóch działań, (świadomie lub nie) porównuje oczekiwaną wartość tych działań w odpowiednim horyzoncie czasowym.

System dochodowy Neutronium: Parallel Wars Nuclear Port jest wyraźnym przykładem zaprojektowanej wartości oczekiwanej. Wzór na dochód zakłada, że ​​gracz posiadający N Nuclear Port otrzymuje dochód w tempie, które skaluje się nieliniowo z N. Specyficzna formuła — 1 port daje 2 jednostki Neutronium na rundę; 10 portów daje 220 Nn na rundę — to nie przypadek. Projektant wyraźnie stwierdził, że akumulacja portów powinna generować zwroty wykładnicze, a nie liniowe, ponieważ wykładnicze zyski tworzą próg koalicji, który napędza dynamikę rywalizacji w grze.

Ta formuła to celowy projekt gry wyrażony w matematyce. Różnica między dochodami z 7 portów (42 Nn/rundę) a dochodami z 10 portów (220 Nn/rundę) jest ekonomicznym argumentem przemawiającym za tym, że koalicje tworzą się na progu 7 portów, zamiast czekać do 9 lub 10 portów. W 7 portach gracz ma wystarczające dochody, aby stanowić zagrożenie, ale działania koalicji mogą nadal być decydujące, zanim przewaga dochodowa stanie się matematycznie nie do pokonania. Projektant, który doszedł do tych liczb na podstawie samych testów, mógłby je w przybliżeniu ustalić prawidłowo; projektant, który od początku rozumiał funkcję wykładniczą, potrafił precyzyjnie określić próg.

Szersza zasada: kiedy skalowanie wykładnicze jest zamierzonym projektem gry, projektant musi udokumentować funkcję skalowania i sprawdzić, czy utworzone przez nią progi są tam, gdzie powinny. Jeśli próg koalicji powinien wynosić 6 portów, a nie 7, należy dostosować formułę dochodu – co wymaga wiedzy na temat tej formuły, a nie tylko obserwacji, że „gra wydaje się zrównoważona”.

Wariancja i percepcja gracza

Wariancja to miara rozłożenia rzeczywistych wyników wokół wartości oczekiwanej. Wysoka wariancja oznacza, że ​​indywidualne wyniki mogą znacznie różnić się od oczekiwań; niska wariancja oznacza, że ​​wyniki skupiają się ściśle wokół średniej. Dla projektantów gier wariancja to pokrętło sterujące, które wpływa zarówno na matematyczną uczciwość gry, jak i na subiektywne wrażenia z grania w nią.

Kluczowa obserwacja psychologiczna: duża wariancja jest nieprzyjemna, nawet jeśli jest matematycznie zbilansowana. Rzut monetą jest całkowicie sprawiedliwy – 50/50, oczekiwana wartość dokładnie równa dla obu graczy – ale gra w grę, w której każda decyzja jest rozstrzygana przez rzut monetą, wydaje się arbitralna i nieprzynosząca satysfakcji. Gracze muszą mieć poczucie, że ich decyzje mają znaczenie, co oznacza, że ​​związek przyczynowy między dobrymi decyzjami a dobrymi wynikami musi być zauważalny w trakcie sesji gry. Wysoka wariancja zrywa to połączenie.

Problem heksadecymalny 7 kontra 2 Catan wyraźnie to ilustruje. W Catanie liczba 7 jest drukowana na większości heksów, ponieważ ma największe prawdopodobieństwo przy 2k6 (16,7%). Liczba 2 jest wydrukowana na najmniejszej liczbie heksów (2,8%). Doświadczeni gracze wiedzą, jak priorytetowo traktować zasoby na heksach 6, 8, 5 i 9 – heksach o wysokim prawdopodobieństwie. Jednak w dowolnej sesji gracz, który prawidłowo umieści swoje początkowe osady na tych heksach, może nadal osiągać znacznie gorsze wyniki niż gracz z mniejszym prawdopodobieństwem rozmieszczenia, jeśli rzeczywiste rzuty kośćmi odbiegają od oczekiwanych wartości. To nie jest niesprawiedliwe – to normalne zróżnicowanie statystyczne. Wydaje się to jednak niesprawiedliwe, ponieważ związek między decyzją (dobre umiejscowienie) a wynikiem (częsty dochód z zasobów) jest zasłonięty przez wariancję.

Rozwiązania projektowe umożliwiające zarządzanie postrzeganą nieuczciwością wynikającą z wariancji obejmują: mechaniki łagodzenia (przerzuty, banki zasobów, mechanizmy nadrabiania zaległości, które aktywują się w przypadku pechowych serii), punkty decyzyjne, które pozostają znaczące nawet w przypadku pecha (dzięki czemu gracz, który słabo wypadł, nadal ma ciekawe wybory) oraz wariancja faworyzująca graczy przegrywających (nadrabianie zaległości poprzez wariancję: wiodący gracz chce stabilnego, przewidywalnego dochodu; przegrywający gracze na tym korzystają z podejść o dużej wariancji, które mogą szybko zamknąć lukę, nawet jeśli wartość oczekiwana jest taka sama).

Momenty Kingmakera z kości — gdzie losowy rzut określa, który gracz wygra, a który przegra w rundzie finałowej — są najbardziej szkodliwymi wynikami wariancji dla satysfakcji gracza. Rozwiązaniem nie jest eliminacja kości, ale zorganizowanie późniejszej fazy gry w taki sposób, aby wyniki kości wpływały na drogę do zwycięstwa, a nie od razu ją determinowały. Kiedy wielu graczy ma realne zwycięskie pozycje przed rundą finałową, szczęśliwy rzut jest satysfakcjonujący dla zwycięzcy, ale nie wydaje się nieuzasadniony dla przegranych — ponieważ przegrani również mieli ścieżkę do zwycięstwa, którą mogli zapewnić ich własne szczęśliwe rzuty.

Testowanie równowagi z matematyką

Struktura MEQA (mierzalność, zaangażowanie, jakość, dostępność) zapewnia ustrukturyzowane podejście do testowania balansu gier. Filar wymierności — litera M w MEQA — to miejsce, w którym matematyka formalnie wkracza w proces projektowania: przed rozpoczęciem testowania projektant definiuje, co oznacza „zrównoważony” w wymiernych kategoriach.

W przypadku gry z asymetrycznymi frakcjami, takiej jak Neutronium: Parallel Wars, wymierna równowaga oznacza: każda frakcja powinna osiągnąć współczynnik wygranych w określonym przedziale tolerancji w wystarczającej próbie gier na porównywalnym poziomie umiejętności. Jeśli celem jest 50% współczynnik wygranych (czysty balans) z akceptowalnym zakresem ±10%, wówczas frakcja wygrywająca 42% gier mieści się w granicach tolerancji, a frakcja wygrywająca 63% nie. Jednak osiągnięcie tego standardu wymaga poznania celu przed testowaniem, a nie deklarowania post hoc, że zaobserwowane współczynniki wygranych są „wystarczająco bliskie”.

Określenie wskaźników przed testowaniem zmienia to, co zaobserwujesz. Jeśli wiesz, że mierzysz współczynnik zwycięstw na frakcję, możesz śledzić przydziały frakcji i wyniki w sesjach. Jeśli wiesz, że mierzysz średnią długość gry, rejestrujesz znaczniki czasu. Decyzje te należy podjąć przed pierwszą sesją testową, ponieważ wskaźniki retrospektywne są zawodne – pamięć jest wybiórcza i ludzie w naturalny sposób zapamiętują sesje, które potwierdzają istniejące przekonania.

Wymagania dotyczące wielkości próbki dla wniosków bilansowych są często większe, niż oczekują projektanci. W przypadku gry dla 2 graczy z 2 frakcjami 30 gier dostarcza danych bazowych umożliwiających wykrycie braku równowagi większych niż 15% przy ufności 80%. W przypadku gier dla 4 graczy z 6 frakcjami przestrzeń kombinacji jest znacznie większa: 30 gier daje około 5 gier na parę frakcji — ledwo wystarczającą do wykrycia skrajnej nierównowagi i niewystarczająca do wykrycia subtelnych przewag. Niezależni wydawcy rzadko mają środki na rygorystyczną weryfikację statystyczną; praktyczne podejście polega na użyciu matematyki do weryfikacji oczekiwanych wartości, testowaniu rozgrywki w celu wyłapania wartości odstających oraz opinii społeczności po premierze w celu zidentyfikowania pozostałych problemów.

Pełny opis — w tym sposób, w jaki Measurability integruje się z innymi filarami MEQA — można znaleźć w Przewodniku po frameworku balansu gier MEQA, który opisuje pełne podejście do definiowania, mierzenia i osiągania równowagi w systemach gier.

Wzór skalowania dochodu w Neutronium łączy się bezpośrednio ze szczegółami mechaniki w /mechanics/nuklear-port-scaling, gdzie funkcja wykładnicza jest udokumentowana wraz z uzasadnieniem projektowym dla każdej wartości progowej.

Narzędzia probabilistyczne dla projektantów

Kilka narzędzi ułatwia projektowanie gier matematycznych bez konieczności zaawansowanego szkolenia statystycznego. To one sprawdzają się w praktyce.

AnyDice (anydice.com) to standardowy kalkulator prawdopodobieństwa kości dla projektantów gier. Akceptuje zapis kostek w języku naturalnym (2k6, d4+d8, 3d6, zachowaj najwyższe 2) i zwraca rozkłady prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i prawdopodobieństwa skumulowane. Dla każdego mechanika zajmującego się kostkami, AnyDice powinno być pierwszym narzędziem, z którym należy się zapoznać. Wykresy wyjściowe sprawiają, że rozkłady są natychmiast czytelne i porównywalne — wklej obok siebie dwa różne wyrażenia dotyczące kości, aby od razu zobaczyć, jak różnią się ich rozkłady.

Symulacje w arkuszach kalkulacyjnych (Arkusze Google, Excel) obsługują obliczenia, których AnyDice nie potrafi: akumulacja zasobów w wielu rundach, dochód z wielu źródeł, oczekiwana długość gry przy różnych założeniach strategicznych. Zbudowanie podstawowego modelu ekonomii gry w arkuszu kalkulacyjnym – z kolumnami dla każdej tury, wierszami dla każdego typu zasobów i formułami przedstawiającymi podstawową mechanikę dochodów i wydatków w grze – zajmuje 2–3 godziny i ujawnia problemy z balansem, których empiryczne wykrycie wymagałoby ponad 20 testów gry.

Symulacja Monte Carlo to narzędzie o najwyższej precyzji: przeprowadzanie obliczeń mechaniki gry tysiące razy w celu uzyskania rozkładów statystycznych dla wszystkich możliwych wyników. Projektantom z doświadczeniem programistycznym Python z NumPy jest wystarczający do większości potrzeb związanych z symulacją gier. Dla projektantów bez doświadczenia w programowaniu dostępne są wizualne narzędzia Monte Carlo, a nawet symulacje oparte na arkuszach kalkulacyjnych, które dają znaczące wyniki przy ograniczonej wiedzy technicznej. Monte Carlo jest najbardziej przydatne w grach ze złożonymi współzależnościami, w których obliczenia analityczne są trudne — gdy zachodzi interakcja wielu zdarzeń losowych, symulacja pozwala uzyskać bardziej wiarygodne szacunki rozkładu niż obliczenia ręczne.

Kiedy zaufać matematyce, a kiedy testować: użyj matematyki, aby zweryfikować równowagę teoretyczną i wychwycić oczywiste błędy projektowe, zanim zainwestujesz w testowanie. Skorzystaj z testów rozgrywki, aby odkryć, jak psychologia człowieka współdziała z matematyką — miejsca, w których optymalna strategia różni się od tego, co faktycznie robią gracze, oraz miejsca, w których matematyka przewiduje równowagę, ale doświadczenie wydaje się niesprawiedliwe. Obydwa są konieczne. Żadne z nich samo w sobie nie wystarczy.

Często zadawane pytania