Lauamängumatemaatika: tõenäosus, eeldatav väärtus ja miks täringud tunduvad ebaausad

Igal lauamängumehaanikul on matemaatiline identiteet. Täringuviskel on eeldatav väärtus ja dispersioon. Kaarditõmbamisel on tõenäosusjaotus. Ressursikaubandusel on vahetuskurss, mida saab väljendada suhtena. Disainerid, kes mõistavad seda matemaatikat, teevad paremaid otsuseid kui disainerid, kes töötavad tunnetuse järgi – mitte sellepärast, et matemaatika asendab intuitsiooni, vaid seetõttu, et intuitsioon ei ole sageli tegelikkusega kooskõlas, nii et ainult testimise parandamine on aeglane.

See artikkel hõlmab matemaatilisi mõisteid, mis on lauamängude kujundamisel ja mängimisel kõige olulisemad: tõenäosusjaotused, eeldatav väärtus, dispersioon ja psühholoogiline lõhe matemaatika ja mängijate kogemuse vahel. Olenemata sellest, kas kavandate mängu või püüate lihtsalt mõista, miks teie täringumängud nii katastroofiliselt õnnetud tunduvad, muudab siinne raamistik teie suhtumist mängude juhuslikkusest.

Miks on matemaatika mängukujunduses oluline?

A Mängudisainer, kes ei ole välja arvutanud oma mängu põhitegevuse majanduse eeldatavat väärtust, ei tea, kas nende mäng töötab. See kõlab karmilt, kuid funktsionaalselt on see tõsi. Kui parimast saadaolevast toimingust oodatakse 4 ressurssi vooru kohta ja võidutingimusega tegevuse maksumus on 30 ressurssi, peab kujundaja teadma, kas see tulumäär on saavutatav mängu tavapärase kestuse jooksul – enne mängu testimist, mitte pärast kuut seanssi, mille üle mõeldes, miks keegi kunagi ei võida.

Matemaatika ja mängutestimine on üksteist täiendavad tööriistad, mitte alternatiivid. Matemaatika ütleb teile, mida teooria ennustab. Playtesting ütleb teile, kas inimkäitumine vastab teooriale. Enamasti lähevad need lahku – mitte sellepärast, et matemaatika on vale, vaid seetõttu, et mängijad ei vali alati teoreetiliselt optimaalset tegevust. Lõhe teoreetilise optimaalse mängu ja tegeliku inimmängu vahel on iseenesest disaini muutuja: mäng, kus ainult optimaalne mäng annab huvitavaid otsuseid, on hullem mäng kui see, kus ebaoptimaalne mäng tekitab ka huvitavaid olukordi.

Igal mehaanikul on eeldatav väärtus ja disainerid peavad seda teadma. Kui Neutronium: Parallel Wars mängija saab tulu Nuclear Port-dest, saavad nad iga pordi kohta täpselt arvutatud eeldatava väärtuse. Kui nad otsustavad rünnata, mitte ehitada, teevad nad otsuse, millel on erinevate stsenaariumide puhul arvutatavad oodatavad tulemused. Disainer, kes teab neid numbreid, saab teha sisukaid tasakaaluotsuseid; disainer, kes seda ei tee, arvab.

Kriitiline asümmeetria seisneb selles, et juhuslikkus tundub ebaõiglane isegi siis, kui see on tasakaalus. 50/50 mündiviskamine tekitab pead kuus korda järjest ligikaudu 1,6% ajast – harva, kuid mitte võimatu. Kui see juhtub mõne mängijaga mängus, kogevad nad seda mängu katkemisena, mitte tavalise statistilise sündmusena. Mõistmine, miks see nii juhtub – ja kuidas disainerid saavad juhuslikkust struktureerida nii, et nad tunneksid end vähem karistavana, säilitades samal ajal samad aluseks olevad tõenäosused – on mängukujunduse matemaatika kõige praktilisem rakendus.

täringu tõenäosus 101

Singli d6 on lauamängudes kõige levinum randomiseerimistööriist ja ka üks enim valesti mõistetud. Standard d6 annab ühtlase jaotuse: iga tahu (1 kuni 6) esinemise tõenäosus on 1/6 ja eeldatav väärtus on 3,5. Mängijad saavad sellest intuitiivselt aru, kuid sageli ei saa nad aru, mida see seansi korduv veeretamine tähendab.

Single d6 versus 2d6 eristus on aluseks, et mõista, miks erinevad täringumehhanismid erinevad. Ühel d6-l on tasane tõenäosusjaotus – iga tulemus vahemikus 1 kuni 6 on võrdselt tõenäoline.Kaks summeeritud d6 annavad kellukesekõvera: 7 on kõige tõenäolisem tulemus (tõenäosus 6/36 = 16,7%), samas kui 2 ja 12 on mõlema tõenäosusega 1/36 = 2,8%. 2d6 jaotus koondab tulemused keskmise lähedale ja muudab äärmuslikud tulemused harvaks. Seetõttu tunneb Catan, mis kasutab ressursside tootmiseks 2d6, üksikute rullide puhul vähem karistavat kui ühe stantsiga süsteemid – jaotus piirab loomulikult äärmuslikke tulemusi.

Kohandatud täringud mittestandardsete näojaotustega annavad disaineritele täpse kontrolli tõenäosusprofiilide üle, mida tavalised täringud ei suuda pakkuda. Tahkudega [0, 0, 0, 1, 1, 2] matriitsil on hoopis teistsugune iseloom kui d6: see annab nulli 50% ajast, üks 33% ajast ja kaks 17% ajast, eeldatava väärtusega 0,67. Neutronium: Parallel Wars kasutab kohandatud D6 täringuid värvikoodiga nägudega: sinised näod tähistavad standardseid lahingutulemusi, punased näod tähistavad kriitilisi tulemusi ja rohelised näod tähistavad spetsiaalseid võimete käivitajaid. Näotüüpide jaotus – mitte ainult nägude arv – määrab iga tulemuse tõenäosuse. Kolme sinise, kahe punase ja ühe rohelise näoga stants annab 50% ajast sinise tulemuse, 33% punase ja 17% rohelise tulemuse. Disainer saab kohandada neid suhteid, muutes nägude arvu, mitte luues matemaatiliselt keerukaid eraldusvõime süsteeme.

Plahvatavad täringud on täringud, mida maksimaalse väärtuse veeremisel uuesti veeretatakse ja tulemused liidetakse. Kuues plahvatava d6 eeldatav väärtus on (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6 eeldatav väärtus) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Avatud olemus loob teoreetiliselt piiramatuid tulemusi – õnnelik plahvatuste jada võib anda väga kõrgeid kogusummasid –, mis tekitab "õnnetunde" hetki, mida mõned mängud teadlikult viljelevad. Kompromiss on suur dispersioon ja aeg-ajalt mängu määrav õnnevise.

Piiratud täringud on vastupidine filosoofia: maksimaalse tulemuse piiramine dispersiooni piiramiseks. Täringukogumissüsteemid, kus veerete mitut täringut ja saavutate ainult parimat N tulemust (eelissüsteemid, nagu D&D 5E eelismehaanik või Gumshoe mitme täringu kõrgeim väärtus), vähendavad matemaatiliselt dispersiooni, säilitades samal ajal tõenäosusliku tunde. Kahest d6-visetist suurema valimine nihutab eeldatavat väärtust 3,5-lt 4,47-le – see on 28% parem –, vähendades samal ajal oluliselt madalate tulemuste tõenäosust.

Oodatav väärtus ressursimängudes

Ressursi kogumise mängud – eurod, mootoriehitajad, majandusstrateegiad – on üles ehitatud eeldatava väärtuse arvutustele, millest projekteerija peab täpselt aru saama, isegi kui neid kunagi reegliraamatus selgesõnaliselt ei esine. Kui mängija valib kahe toimingu vahel, võrdleb ta (teadlikult või mitte) nende toimingute eeldatavat väärtust asjakohase ajahorisondi jooksul.

Neutronium: Parallel Wars sissetulekusüsteem Nuclear Port on selge näide kavandatud eeldatavast väärtusest. Sissetulekuvalem määrab, et mängija, kellel on N Nuclear Port, saab sissetulekut kiirusega, mis skaala N-ga mittelineaarselt. Spetsiifiline valem — 1 port annab 2 Neutronium ühikut vooru kohta; 10 porti annab 220 Nn ühe ringi kohta - pole juhuslik.Disaineri selgesõnaline väide on, et pordi akumulatsioon peaks tootma pigem eksponentsiaalset kui lineaarset tulu, sest eksponentsiaalne tulu loob koalitsiooniläve, mis juhib mängu konkurentsidünaamikat.

See valem on tahtlik mängukujundus, mis on väljendatud matemaatikas. Lõhe 7-pordilise tulu (42 Nn/ring) ja 10-pordilise tulu (220 Nn/ring) vahel on majanduslik argument, miks koalitsioonid moodustatakse 7-pordilise künnise juures, mitte oodata 9 või 10 sadamani. Seitsmes sadamas on mängijal piisavalt sissetulekut, et olla ähvardav – kuid koalitsioonitegevus võib siiski olla otsustav, enne kui tulueelis muutub matemaatiliselt ületamatuks. Disainer, kes jõudis nende arvudeni ainuüksi mängutestimise kaudu, võib neist ligilähedaselt õigesti aru saada; disainer, kes mõistis eksponentsiaalfunktsiooni algusest peale, võiks läve täpselt määrata.

Laiem põhimõte: Kui eksponentsiaalne skaleerimine on tahtlik mängu kavandamine, peab disainer skaleerimisfunktsiooni dokumenteerima ja kontrollima, et selle loodud läved on seal, kus nad neid soovivad. Kui koalitsiooni künnis peaks olema 7 asemel 6 porti, tuleb sissetulekuvalemit kohandada – selleks on vaja teada, mis on valem, mitte ainult jälgida, et "mäng tundub tasakaalus".

Erinevus ja mängija taju

Variance on mõõt, mis näitab, kui palju tegelikud tulemused jaotuvad eeldatava väärtuse ümber. Suur dispersioon tähendab, et individuaalsed tulemused võivad oodatust oluliselt erineda; madal dispersioon tähendab, et tulemused koonduvad tihedalt keskmise ümber. Mängude kujundajate jaoks on dispersioon juhtnupp, mis mõjutab nii mängu matemaatilist õiglust kui ka subjektiivset mängukogemust.

Põhiline psühholoogiline ülevaade: Suur dispersioon tundub halb isegi siis, kui see on matemaatiliselt tasakaalustatud. Mündi viskamine on täiesti õiglane – 50/50, eeldatav väärtus mõlemale mängijale täpselt võrdne –, kuid mängu mängimine, kus iga otsus lahendatakse mündi viskamisega, tundub meelevaldne ja tulutu. Mängijad peavad tundma, et nende otsused on olulised, mis tähendab, et nad vajavad põhjuslikku seost heade otsuste ja heade tulemuste vahel, et need oleksid mängusessioonis tajutavad. Suur dispersioon katkestab selle ühenduse.

7 versus 2 Catan hex probleem illustreerib seda selgelt. Catanis on number 7 trükitud kõige rohkematele kuusnurkadele, kuna sellel on suurim tõenäosus 2d6-ga (16,7%). Arv 2 on trükitud kõige vähematele kuusikutele (2,8%). Kogenud mängijad teavad 6s, 8s, 5s ja 9s ressursse prioriteediks seada – suure tõenäosusega kuuepunktid. Kuid igal konkreetsel seansil võib mängija, kes asetab oma algsed arveldused nendele kuusnurkadele õigesti, olla väiksema tõenäosusega mängijale märkimisväärselt kehvem, kui tegelik täringuvisetus kaldub eeldatavatest väärtustest kõrvale. See ei ole ebaõiglane – see on tavaline statistiline erinevus.Kuid see tundub ebaõiglane, sest suhet otsuse (hea paigutus) ja tulemuse (sagedane ressursitulu) vahel varjab erinevus.

Disainilahendused dispersioonist tingitud ebaõigluse juhtimiseks on järgmised: Leevendusmehaanika (uuesti kerimised, ressursipangad, järelejõudmise mehhanismid, mis aktiveeruvad halva õnne korral), ka pärast halbu punkte, mis jäävad ebatäiuslikuks. õnn (nii et mängijal, kes viskab halvasti, on endiselt huvitavaid valikuid) ja variance, mis soosib järelmängijaid (järelejõudmine dispersiooni kaudu: juhtiv mängija soovib stabiilset ja prognoositavat sissetulekut; järelmängijad saavad kasu isegi suure dispersiooniga lähenemisest, mis võib kiiresti saada suure dispersiooniga lähenemisviisi). sama).

Kingmakeri hetked täringutest – kus juhuslik viskamine määrab, milline mängija viimases voorus võidab või kaotab – on mängija rahulolu jaoks kõige kahjulikumad erinevused. Lahendus ei ole täringute kõrvaldamine, vaid hilise mängu struktureerimine nii, et täringutulemused mõjutaksid võiduteed, mitte ei määra seda otse. Kui mitmel mängijal on viimases voorus elujõulised võidupositsioonid, on õnnelik veeretamine võitjale rahuldust pakkuv, kuid kaotajate jaoks ei tundu see ebaseaduslikuna – sest ka kaotajatel oli võidutee, mida oleks võinud võimaldada nende endi õnnelikud visked.

Tasakaalu testimine matemaatikaga

Raamistik MEQA (mõõdetavus, kaasamine, kvaliteet, juurdepääsetavus) pakub struktureeritud lähenemisviisi mängu tasakaalu testimiseks. Mõõdetavuse sammas – M-sammas MEQA-s – on koht, kus matemaatika siseneb kujundamisprotsessi formaalselt: enne mängutestimise algust määratleb disainer, mida "tasakaalustatud" mõõdetavates mõistetes tähendab.

Asümmeetriliste fraktsioonidega mängu puhul, nagu Neutronium: Parallel Wars, tähendab mõõdetav tasakaal: iga fraktsioon peaks saavutama võidumäära kindlaksmääratud tolerantsivahemikus piisava hulga võrreldavate oskuste tasemetega mängude osas. Kui eesmärgiks on 50% võidumäär (puhas saldo) ±10% vastuvõetava vahemikuga, siis 42% mängudest võitnud fraktsioon jääb tolerantsi piiridesse ja 63% võitnud fraktsioon mitte. Kuid selle standardi saavutamiseks on enne testimist vaja teada sihtmärki – mitte tagantjärele deklareerida, et täheldatud võidumäärad on piisavalt lähedal.

Mõõdikute määratlemine enne esitustestimist muudab seda, mida jälgite. Kui teate, et mõõdate võidumäära fraktsiooni kohta, jälgite fraktsioonide ülesandeid ja tulemusi seansside lõikes. Kui teate, et mõõdate mängu keskmist pikkust, salvestate ajatemplid. Need otsused tuleb teha enne esimest mängutesti seanssi, sest tagasiulatuvad mõõdikud on ebausaldusväärsed – mälu on selektiivne ja inimesed mäletavad loomulikult seansse, mis toetavad olemasolevaid uskumusi.

Tasakaalu järelduste valimi suuruse nõuded on sageli suuremad, kui disainerid eeldavad. Kahe mängijaga ja kahe fraktsiooniga mängu puhul pakuvad 30 mängu lähteandmed suuremate kui 15% tasakaalustamatuste tuvastamiseks 80% kindlusega. 4-mängijaga 6 fraktsiooniga mängude puhul on kombinatsiooniruum palju suurem: 30 mängu annab umbes 5 mängu fraktsioonipaari kohta – vaevu piisav äärmise tasakaalustamatuse tuvastamiseks ja ebapiisav peente eeliste tuvastamiseks.Indie väljaandjatel on harva ressursse rangeks statistiliseks valideerimiseks; praktiline lähenemine on kasutada matemaatikat eeldatavate väärtuste kontrollimiseks, mängutestide kasutamist kõrvalekallete leidmiseks ja kogukonna tagasisidet pärast avaldamist, et tuvastada säilinud probleeme.

Täieliku raamistiku – sealhulgas selle kohta, kuidas mõõdetavus integreerub teiste MEQA tugisammastega – vaadake MEQA mängu tasakaalu raamistiku juhendist, mis hõlmab täielikku lähenemist tasakaalu, mängu ja mängu määratlemisele. süsteemid.

Sissetuleku skaleerimise valem rakenduses Neutronium ühendub otse mehaanika üksikasjadega saidil /mechanics/nuclear-port-scaling, kus eksponentsiaalne funktsioon on dokumenteeritud koos iga QZX-arutlusväärtusegaQ31XA0X.

Tõenäosustööriistad disaineritele

Mitmed tööriistad muudavad mängukujunduse matemaatika juurdepääsetavaks, ilma et oleks vaja täiendavat statistilist koolitust. Need on need, mis praktikas töötavad.

AnyDice (anydice.com) on mängude kujundajate standardne täringu tõenäosuse kalkulaator. See aktsepteerib loomuliku keele täringumärke (2d6, d4+d8, 3d6 säilitab kõrgeima 2) ja tagastab tõenäosusjaotused, eeldatavad väärtused ja kumulatiivsed tõenäosused. Iga täringut kasutava mehaaniku jaoks peaks AnyDice olema esimene tööriist, kellega konsulteerida. Selle väljundgraafikud muudavad jaotused kohe loetavaks ja võrreldavaks – kleepige kõrvuti kaks erinevat täringuavaldist, et näha kohe, kuidas nende jaotused erinevad.

Arvutustabeli simulatsioonid (Google Sheets, Excel) käsitleb arvutusi, mida AnyDice ei suuda: ressursside kogunemine mitme vooru jooksul, sissetulek mitmest allikast, eeldatav mängupikkus erinevate strateegiliste eesmärkidega. Mängu majanduse põhilise arvutustabeli mudeli – iga käigu veerud, iga ressursitüübi read ning valemid, mis kajastavad mängu põhisissetulekut ja kulumehhanisme – koostamine võtab 2–3 tundi ja paljastab tasakaaluprobleemid, mille empiiriliseks avastamiseks kuluks üle 20 mängutesti.

Monte Carlo simulatsioon on kõige täpsem tööriist: mängumehaanika käitamine tuhandeid kordi arvutuslikult, et luua statistilised jaotused kõigi võimalike tulemuste vahel. Programmeerimise taustaga disaineritele piisab Pythonist koos NumPyga enamiku mängude simulatsioonivajaduste jaoks. Programmeerimistaustata disainerite jaoks on olemas visuaalsed Monte Carlo tööriistad ja isegi arvutustabelipõhised simulatsioonid, mis annavad sisukaid tulemusi piiratud tehniliste teadmistega. Monte Carlo on kõige väärtuslikum keeruliste vastastikuste sõltuvustega mängude puhul, kus analüütiline arvutamine on keeruline – mitme juhusliku sündmuse koosmõjul annab simulatsioon usaldusväärsema jaotuse hinnangu kui käsitsi arvutamine.

Millal usaldada matemaatikat ja millal mängida testimist: kasutage matemaatikat teoreetilise tasakaalu kontrollimiseks ja ilmsete disainiveade tuvastamiseks enne mängutestimisse investeerimist. Kasutage mängutesti, et avastada, kuidas inimpsühholoogia suhtleb matemaatikaga – kohad, kus optimaalne strateegia erineb mängijate tegelikust tegevusest, ja kohad, kus matemaatika ennustab tasakaalu, kuid kogemus tundub ebaõiglane. Mõlemad on vajalikud. Kumbki ei ole üksi piisav.

Korduma kippuvad küsimused