Matematika deskové hry: Pravděpodobnost, očekávaná hodnota a proč se kostky cítí nespravedlivé

Každý mechanik deskových her má matematickou identitu. Hod kostkou má očekávanou hodnotu a rozptyl. Tažení karty má rozdělení pravděpodobnosti. Obchod se zdroji má směnný kurz, který lze vyjádřit jako poměr. Designéři, kteří rozumí této matematice, dělají lepší rozhodnutí než návrháři, kteří pracují podle pocitu – ne proto, že matematika nahrazuje intuici, ale proto, že intuice často nesouhlasí s realitou způsobem, který samotné testování opravuje pomalu.

Tento článek pojednává o matematických konceptech, které jsou pro návrh a hraní deskových her nejdůležitější: rozdělení pravděpodobnosti, očekávaná hodnota, rozptyl a psychologická propast mezi tím, co říká matematika, a tím, co hráči zažívají. Ať už navrhujete hru, nebo se jen snažíte pochopit, proč jsou vaše kostky tak katastrofálně nešťastné, rámec zde změní váš názor na náhodnost ve hrách.

Proč je matematika v herním designu důležitá

Herní designér, který si nevypočítal očekávanou hodnotu hlavní akční ekonomiky své hry, neví, zda jeho hra funguje. Zní to drsně, ale funkčně je to pravda. Pokud jsou očekávané příjmy z nejlepší dostupné akce 4 zdroje na kolo a cena akce s podmínkou vítězství je 30 zdrojů, musí návrhář vědět, zda je tato míra příjmu dosažitelná během typické doby trvání hry – před testováním, nikoli po šesti sezeních, kdy se ptáte, proč nikdo nikdy nevyhraje.

Matematika a testování hry jsou doplňkové nástroje, nikoli alternativy. Matematika vám řekne, co teorie předpovídá. Playtesting vám řekne, zda lidské chování odpovídá teorii. Většinou se rozcházejí — ne proto, že by matematika byla špatná, ale proto, že hráči ne vždy volí teoreticky optimální akci. Propast mezi teoretickou optimální hrou a skutečnou lidskou hrou je sama o sobě konstrukční proměnnou: hra, kde pouze optimální hra přináší zajímavá rozhodnutí, je horší hra než hra, kde neoptimální hra vytváří zajímavé situace.

Každý mechanik má očekávanou hodnotu a návrháři ji musí znát. Když hráč Neutronium: Parallel Wars získá příjem z Nuclear Ports, obdrží přesně vypočítanou očekávanou hodnotu za port za kolo. Když se rozhodnou spíše útočit než stavět, učiní rozhodnutí, které má vypočítatelné očekávané výsledky v různých scénářích. Návrhář, který zná tato čísla, může činit smysluplná rozhodnutí o vyvážení; návrhář, který ne, hádá.

Kritická asymetrie spočívá v tom, že náhodnost je nespravedlivá, i když je vyvážená. Hod mincí 50/50 produkuje hlavy šestkrát za sebou přibližně v 1,6 % případů – zřídka, ale ne nemožné. Když se to stane hráči ve hře, prožívají to jako rozbití hry, nikoli jako běžnou statistickou událost. Pochopení toho, proč se to děje – a jak mohou designéři strukturovat náhodnost, aby se cítili méně trestaní při zachování stejných základních pravděpodobností – je prakticky nejcennější aplikací matematiky herního designu.

Pravděpodobnost kostek 101

Single d6 je nejběžnějším randomizačním nástrojem v deskových hrách a také jedním z nejvíce nepochopených. Standardní d6 vytváří rovnoměrné rozdělení: každá plocha (1 až 6) má pravděpodobnost výskytu 1/6 a očekávaná hodnota je 3,5. Hráči to intuitivně chápou, ale často nerozumí tomu, co to znamená opakované házení během relace.

Rozdíl mezi jednotlivými d6 a 2k6 je základem pro pochopení toho, proč se různé kostkové mechaniky cítí jinak. Jediný d6 má ploché rozdělení pravděpodobnosti — každý výsledek od 1 do 6 je stejně pravděpodobný. Součet dvou d6 vytváří zvonovou křivku: 7 je nejpravděpodobnější výsledek (pravděpodobnost 6/36 = 16,7 %), zatímco 2 a 12 mají každý pravděpodobnost 1/36 = 2,8 %. Distribuce 2k6 koncentruje výsledky blízko středu a dělá extrémní výsledky vzácné. To je důvod, proč se Catan, který používá 2k6 k produkci zdrojů, cítí méně trestuhodný na jednotlivé hody než systémy s jednou kostkou – distribuce přirozeně omezuje extrémní výsledky.

Vlastní kostky s nestandardním rozložením obličejů poskytují návrhářům přesnou kontrolu nad profily pravděpodobnosti, kterou standardní kostky nemohou poskytnout. Kostka s tvářemi [0, 0, 0, 1, 1, 2] má velmi odlišný charakter než d6: produkuje nulu 50 % času, jednu 33 % času a dvě 17 % času, s očekávanou hodnotou 0,67. Neutronium: Parallel Wars používá vlastní kostky D6 s barevně odlišenými tvářemi: modré tváře představují standardní výsledky boje, červené tváře představují kritické výsledky a zelené tváře představují spouštěče speciálních schopností. Rozdělení typů obličejů – nejen počet obličejů – určuje pravděpodobnost každého výsledku. Kostka se třemi modrými tvářemi, dvěma červenými tvářemi a jednou zelenou tváří dává modré výsledky v 50 % případů, červené 33 % a zelené 17 %. Návrhář může tyto poměry upravit změnou počtu obličejů, nikoli vytvářením matematicky složitých systémů rozlišení.

Rozkládající se kostky jsou kostky, kterými se při hodu maximální hodnotou znovu hází a výsledky se sčítají. d6, které exploduje na 6, má očekávanou hodnotu (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × očekávaná hodnota a d6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Povaha s otevřeným koncem vytváří teoreticky neomezené výsledky – šťastná sekvence explozí může produkovat velmi vysoké součty – což vytváří momenty „pocitu štěstí“, které některé hry záměrně pěstují. Kompromisem je vysoká variabilita a příležitostný hod určující štěstí.

Ohraničené kostky jsou opačnou filozofií: omezením maximálního výsledku, aby se omezila odchylka. Systémy s kostkami, kde házíte více kostkami a získáváte jen ty nejlepší N výsledky (výhodné systémy, jako je výhodný mechanik D&D 5E nebo Gumshoe s nejvyšším odběrem více kostek), matematicky snižují rozptyl při zachování pravděpodobnostního pocitu. Použití vyššího ze dvou hodů d6 posune očekávanou hodnotu z 3,5 na 4,47 – 28% zlepšení – a zároveň výrazně sníží pravděpodobnost nízkých výsledků.

Očekávaná hodnota ve hrách o zdroje

Hry s akumulací zdrojů – eura, výrobci motorů, ekonomické strategie – jsou založeny na výpočtech očekávaných hodnot, kterým musí návrhář přesně rozumět, i když se nikdy explicitně neobjeví v pravidlech. Když si hráč vybírá mezi dvěma akcemi, porovnává (vědomě nebo ne) očekávanou hodnotu těchto akcí v příslušném časovém horizontu.

Tento vzorec je záměrný herní design vyjádřený jako matematika. Rozdíl mezi příjmem ze 7 portů (42 Nn/kolo) a příjmem z 10 portů (220 Nn/kolo) je ekonomickým argumentem, proč se koalice tvoří na hranici 7 portů místo čekání na 9 nebo 10 portů. Na 7 portech má hráč dostatečný příjem na to, aby mohl hrozit — ale koaliční akce může být stále rozhodující, než se zisková výhoda stane matematicky nepřekonatelnou. Designér, který k těmto číslům dospěl samotným testováním hry, by je mohl získat přibližně správně; návrhář, který od začátku rozuměl exponenciální funkci, mohl přesně specifikovat práh.

Širší princip: když je exponenciální škálování záměrným návrhem hry, musí návrhář zdokumentovat funkci škálování a ověřit, že prahové hodnoty, které vytváří, jsou tam, kde je chtějí. Pokud by prahová hodnota koalice měla být 6 portů místo 7, je třeba upravit vzorec příjmu – což vyžaduje znát vzorec, ne jen pozorovat, že „hra vypadá vyrovnaně.“

Variance a vnímání hráče

Rozptyl je míra toho, jak moc se skutečné výsledky rozprostírají kolem očekávané hodnoty. Vysoký rozptyl znamená, že jednotlivé výsledky se mohou dramaticky lišit od očekávání; nízký rozptyl znamená, že výsledky se těsně shlukují kolem průměru. Pro herní designéry je variance ovládacím knoflíkem, který ovlivňuje jak matematickou spravedlivost hry, tak subjektivní zážitek z hraní.

Klíčový psychologický pohled: vysoká variabilita působí špatně, i když je matematicky vyvážená. Hod mincí je naprosto spravedlivý — 50/50, očekávaná hodnota přesně stejná pro oba hráče — ale hrát hru, kde je každé rozhodnutí vyřešeno hodem mincí, je svévolné a nepřiměřené. Hráči potřebují cítit, že na jejich rozhodnutích záleží, což znamená, že potřebují, aby byla v herní relaci patrná kauzální souvislost mezi dobrými rozhodnutími a dobrými výsledky. Vysoká odchylka toto spojení přeruší.

Problém 7 versus 2 Catan hex to jasně ilustruje. V Catanu je číslo 7 vytištěno na nejvíce hexech, protože má nejvyšší pravděpodobnost s 2k6 (16,7 %). Číslo 2 je vytištěno na nejmenším počtu hexů (2,8 %). Zkušení hráči vědí, že upřednostňují zdroje na 6s, 8s, 5s a 9s – vysoce pravděpodobné hexy. Ale v jakékoli dané relaci může hráč, který správně umístí své počáteční osady na tyto hexy, stále výrazně zaostávat za hráčem s méně pravděpodobným umístěním, pokud se skutečné hody kostkou liší od očekávaných hodnot. To není nespravedlivé – je to normální statistická odchylka. Připadá mi to ale nespravedlivé, protože vztah mezi rozhodnutím (dobré umístění) a výsledkem (častý příjem ze zdrojů) je zastíněn rozptylem.

Konstrukční řešení pro řízení vnímané nespravedlnosti z variance zahrnují: mechaniku zmírnění (opakované házení, banky zdrojů, mechanismy dohánění, které se aktivují při neúspěchu), rozhodovací body, které zůstávají smysluplné i po smůle (takže hráč, který hází špatně, má stále zajímavé možnosti) a variance, která upřednostňuje hráče, kteří upřednostňují změnu, stabilní hráče: příjem, hráči vzadu těží z přístupů s vysokou variabilitou, které dokážou rychle zacelit mezeru, i když je očekávaná hodnota stejná).