Jokaisella lautapelimekaanikalla on matemaattinen identiteetti. Nopanheitolla on odotusarvo ja varianssi. Kortin vedolla on todennäköisyysjakauma. Resurssikaupalla on valuuttakurssi, joka voidaan ilmaista suhdelukuna. Suunnittelijat, jotka ymmärtävät tämän matematiikan, tekevät parempia päätöksiä kuin suunnittelijat, jotka työskentelevät tunteen perusteella – ei siksi, että matematiikka korvaa intuitiota, vaan koska intuitio on usein eri mieltä todellisuuden kanssa siten, että pelkkä testaus korjaantuu hitaasti.
Tämä artikkeli kattaa matemaattiset käsitteet, joilla on eniten merkitystä lautapelien suunnittelussa ja pelaamisessa: todennäköisyysjakaumat, odotusarvo, varianssi ja psykologinen kuilu matematiikan ja pelaajien kokemusten välillä. Suunnitteletpa peliä tai yrität vain ymmärtää, miksi noppasessiot tuntuvat niin katastrofaalisesti epäonnistuneilta, tässä oleva kehys muuttaa sitä, miten ajattelet satunnaisuudesta peleissä.
Miksi matematiikalla on merkitystä pelisuunnittelussa
Pelisuunnittelija, joka ei ole laskenut pelinsä perustoimintatalouden odotettua arvoa, ei tiedä, toimiiko hänen pelinsä. Tämä kuulostaa ankaralta, mutta se on toiminnallisesti totta. Jos odotetut tulot parhaasta käytettävissä olevasta toiminnasta ovat 4 resurssia kierrosta kohden ja voittoehtotoiminnon hinta on 30 resurssia, suunnittelijan on tiedettävä, onko tuo tuloprosentti saavutettavissa pelin tyypillisen keston aikana – ennen pelitestausta, ei kuuden istunnon jälkeen, kun ihmettelet, miksi kukaan ei koskaan voita.
Matematiikka ja pelitestaus ovat toisiaan täydentäviä työkaluja, eivät vaihtoehtoja. Matematiikka kertoo mitä teoria ennustaa. Playtesting kertoo, vastaako ihmisen käyttäytyminen teoriaa. Useimmiten ne eroavat toisistaan - ei siksi, että matematiikka on väärä, vaan koska pelaajat eivät aina valitse teoreettisesti optimaalista toimintaa. Kuilu teoreettisen optimaalisen pelin ja todellisen ihmisen pelin välillä on itsessään suunnittelumuuttuja: peli, jossa vain optimaalinen peli tuottaa mielenkiintoisia päätöksiä, on huonompi peli kuin se, jossa myös epäoptimaalinen peli luo mielenkiintoisia tilanteita.
Jokaisella mekaanikolla on odotettu arvo, ja suunnittelijoiden on tiedettävä se. Kun Neutronium: Parallel Wars-pelaaja saa tuloja Nuclear Port-peleistä, hän saa tarkasti lasketun odotusarvon porttia kohden per kierros. Kun he päättävät hyökätä rakentamisen sijaan, he tekevät päätöksen, jolla on laskettavissa olevat odotetut tulokset eri skenaarioissa. Suunnittelija, joka tietää nämä numerot, voi tehdä mielekkäitä tasapainopäätöksiä; suunnittelija, joka ei, arvaa.
Kriittinen epäsymmetria on, että satunnaisuus tuntuu epäreilulta, vaikka se olisi tasapainossa. 50/50 kolikonheitto tuottaa päitä kuusi kertaa peräkkäin noin 1,6 % ajasta – harvoin, mutta ei mahdottomasti. Kun näin tapahtuu pelaajalle pelissä, hän kokee sen pelin katkeamisena, ei normaalina tilastollisena tapahtumana. Pelisuunnittelun matematiikan käytännöllisesti arvokkain sovellus on ymmärtää, miksi näin tapahtuu – ja kuinka suunnittelijat voivat jäsentää sattumanvaraisuuksia niin, että ne tuntevat vähemmän rankaisemista ja säilyttävät samat taustalla olevat todennäköisyydet.
Nopan todennäköisyys 101
Single d6 on yleisin satunnaistustyökalu lautapeleissä ja myös yksi väärinymmärretyimmistä. Standardi d6 tuottaa tasaisen jakauman: kunkin pinnan (1 - 6) esiintymistodennäköisyys on 1/6 ja odotusarvo on 3,5. Pelaajat ymmärtävät tämän intuitiivisesti, mutta he eivät usein ymmärrä, mitä se tarkoittaa toistuvilla kierroksilla istunnon aikana.
Yksittäinen d6:n ja 2d6:n ero on perusta, jotta ymmärrät, miksi erilaiset noppamekaniikat tuntuvat erilaisilta. Yhdellä d6:lla on tasainen todennäköisyysjakauma – jokainen tulos 1-6 on yhtä todennäköinen. Kaksi summattua d6 tuottaa kellokäyrän: 7 on todennäköisin tulos (todennäköisyys 6/36 = 16,7 %), kun taas 2:lla ja 12:lla on kummankin todennäköisyys 1/36 = 2,8 %. 2d6-jakauma keskittää tulokset lähelle keskikohtaa ja tekee äärimmäisistä tuloksista harvinaisia. Tästä syystä Catan, joka käyttää resurssien tuotantoon 2d6:ta, tuntuu yksittäisillä rullilla vähemmän rankaisevalta kuin yksipuikkojärjestelmät – jakelu rajoittaa luonnollisesti äärimmäisiä tuloksia.
Muokatut nopat epästandardeilla kasvojakaumilla antavat suunnittelijoille tarkan hallinnan todennäköisyysprofiileihin, joita tavalliset nopat eivät pysty tarjoamaan. Muotti, jonka pinnat ovat [0, 0, 0, 1, 1, 2], on luonteeltaan hyvin erilainen kuin d6: se tuottaa nollan 50 % ajasta, yhden 33 % ajasta ja kaksi 17 % ajasta, odotusarvolla 0,67. Neutronium: Parallel Wars käyttää mukautettuja D6-noppaa, joissa on värikoodatut kasvot: siniset kasvot edustavat tavallisia taistelutuloksia, punaiset kasvot kriittisiä tuloksia ja vihreät kasvot erityisiä kykyjen laukaisimia. Kasvotyyppien jakauma - ei vain kasvojen lukumäärä - määrittää kunkin tuloksen todennäköisyyden. Kolmella sinisellä, kahdella punaisella ja yhdellä vihreällä kasvolla on sininen tulos 50 % ajasta, punainen 33 % ja vihreä 17 % ajasta. Suunnittelija voi säätää näitä suhteita muuttamalla kasvojen määrää sen sijaan, että loisi matemaattisesti monimutkaisia resoluutiojärjestelmiä.
Räjähtävät nopat ovat noppia, jotka heitetään uudelleen maksimiarvon heitettäessä ja tulokset lisätään. d6:lla, joka räjähtää 6:lla, on odotusarvo (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × d6:n odotettu arvo) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Avoin luonne luo teoreettisesti rajattomia tuloksia – onnekas räjähdyssarja voi tuottaa erittäin korkeita kokonaistuloksia – mikä tuottaa "onnen tunteen" hetkiä, joita jotkut pelit tarkoituksella viljelevät. Kompromissi on suuri varianssi ja satunnainen pelin määräävä onnenheitto.
Rajoitetut nopat ovat päinvastainen filosofia: enimmäistuloksen rajoittaminen varianssin rajoittamiseksi. Noppapoolijärjestelmät, joissa heitetään useita noppaa ja saavutetaan vain parhaat N tulokset (edujärjestelmät, kuten D&D 5E:n etumekaniikka tai Gumshoen useiden noppien otot korkeimmillaan), vähentävät matemaattisesti varianssia säilyttäen samalla todennäköisyyden tunteen. Kahdesta d6-rullasta korkeamman ottaminen siirtää odotusarvoa 3,5:stä 4,47:ään, mikä on 28 %:n parannus, ja samalla vähentää merkittävästi huonojen tulosten todennäköisyyttä.
Odotettu arvo resurssipeleissä
Resurssien kertymispelit – eurot, koneenrakentajat, talousstrategiat – perustuvat odotusarvolaskelmiin, jotka suunnittelijan on ymmärrettävä tarkasti, vaikka niitä ei koskaan mainitakaan nimenomaisesti sääntökirjassa. Kun pelaaja valitsee kahdesta toiminnasta, hän vertaa (tietoisesti tai ei) näiden toimien odotettua arvoa kyseisellä aikahorisontilla.
Neutronium: Parallel Wars:n Nuclear Port-tulojärjestelmä on selkeä esimerkki suunnitellusta odotusarvosta. Tulokaava määrittää, että pelaaja, jolla on N Nuclear Ports, saa tuloja nopeudella, joka skaalautuu epälineaarisesti N:n kanssa. Erityinen kaava – 1 portti tuottaa 2 Neutronium yksikköä kierrosta kohti; 10 porttia tuottaa 220 Nn per kierros - ei ole sattumaa. Suunnittelijan nimenomainen lausunto on, että porttien kertymisen tulisi tuottaa eksponentiaalista tuottoa lineaarisen sijaan, koska eksponentiaaliset tuotot luovat koalitiokynnyksen, joka ohjaa pelin kilpailudynamiikkaa.
Tämä kaava on tarkoituksellinen pelisuunnittelu, joka ilmaistaan matematiikassa. Ero 7 portin tulojen (42 Nn/kierros) ja 10 portin tulojen (220 Nn/kierros) välillä on taloudellinen peruste sille, miksi liittoutumia muodostetaan 7 portin kynnyksellä sen sijaan, että odotettaisiin 9 tai 10 satamaan asti. 7 satamassa pelaajalla on tarpeeksi tuloja ollakseen uhkaavia – mutta liittoutuman toiminta voi silti olla ratkaisevaa, ennen kuin tuloetu muuttuu matemaattisesti ylitsepääsemättömäksi. Suunnittelija, joka päätyi näihin lukuihin pelkän pelitestauksen kautta, saattaa saada ne suunnilleen oikein; suunnittelija, joka ymmärsi eksponentiaalisen funktion alusta alkaen, voisi määrittää kynnyksen tarkasti.
Laajempi periaate: kun eksponentiaalinen skaalaus on tarkoituksellista pelisuunnittelua, suunnittelijan on dokumentoitava skaalaustoiminto ja varmistettava, että sen luomat kynnykset ovat siellä, missä he haluavat ne. Jos koalitiokynnyksen pitäisi olla 6 porttia 7:n sijaan, tulokaavaa on mukautettava – mikä edellyttää kaavan tuntemista, ei pelkästään sen huomioimista, että "peli tuntuu tasapainoiselta".
Varianssi ja pelaajakäsitys
Varianssi on mitta siitä, kuinka paljon todelliset tulokset jakautuvat odotetun arvon ympärille. Suuri varianssi tarkoittaa, että yksittäiset tulokset voivat poiketa dramaattisesti odotuksista; pieni varianssi tarkoittaa, että tulokset klusterit tiukasti keskiarvon ympärille. Pelisuunnittelijoille varianssi on säätönuppi, joka vaikuttaa sekä pelin matemaattiseen rehellisyyteen että sen pelaamisen subjektiiviseen kokemukseen.
Tärkein psykologinen oivallus: suuri varianssi tuntuu pahalta, vaikka se olisi matemaattisesti tasapainotettu. Kolikonheitto on täysin oikeudenmukainen – 50/50, odotusarvo täsmälleen sama molemmille pelaajille – mutta pelin pelaaminen, jossa jokainen päätös ratkaistaan kolikonheitolla, tuntuu mielivaltaiselta ja epäpalkitsevalta. Pelaajien on tunnettava, että heidän päätöksillään on merkitystä, mikä tarkoittaa, että he tarvitsevat kausaalisen yhteyden hyvien päätösten ja hyvien tulosten välillä, jotta he ovat havaittavissa pelisession aikana. Suuri varianssi katkaisee yhteyden.
7 vs. 2 Catan-heksa-ongelma osoittaa tämän selvästi. Catanissa luku 7 on painettu useimpiin heksaan, koska sillä on suurin todennäköisyys 2d6:lla (16,7 %). Numero 2 on painettu vähiten heksaan (2,8 %). Kokeneet pelaajat tietävät priorisoida resurssit 6s, 8s, 5s ja 9s - suuren todennäköisyyden hexes. Mutta missä tahansa istunnossa pelaaja, joka sijoittaa alkulaskunsa oikein näille heksaille, voi silti jäädä huomattavasti heikommaksi pelaajalta, jolla on pienempi todennäköisyys, jos todelliset nopanheitot poikkeavat odotetuista arvoista. Tämä ei ole epäreilua – se on normaalia tilastollista vaihtelua. Mutta se tuntuu epäreilulta, koska vaihtelu hämärtää päätöksen (hyvä sijoitus) ja tuloksen (usein resurssituotot) välistä suhdetta.
Suunnitteluratkaisuja epäreilun epäoikeudenmukaisuuden hallintaan vaihteluista ovat: lievennysmekaniikka (uudelleenrullaukset, resurssipankit, kiinniottomekanismit, jotka aktivoituvat huonon onnen juoksuissa), päätöspisteet, jotka pysyvät merkityksellisinä huonon onnen jälkeenkin (joten huonosti heittäneellä pelaajalla on edelleen mielenkiintoisia valintoja, joka suosii pelaajia) ja varianssi: johtava pelaaja haluaa vakaat, ennustettavat tulot; perässä olevat pelaajat hyötyvät suuren vaihtelun lähestymistavoista, jotka voivat kaventaa eron nopeasti, vaikka odotettu arvo on sama.
Kingmakerin hetket nopasta – joissa satunnainen heitto määrittää, kumpi pelaaja voittaa tai häviää viimeisellä kierroksella – ovat haitallisimpia varianssituloksia pelaajien tyytyväisyydelle. Ratkaisu ei ole noppien poistaminen, vaan myöhäisen pelin jäsentäminen niin, että nopan tulokset vaikuttavat voittopolkuun sen sijaan, että määrittäisivät sen suoraan. Kun useilla pelaajilla on kelvollisia voittopaikkoja viimeiselle kierrokselle, onnenheitto tyydyttää voittajaa, mutta se ei tunnu häviäjien mielestä laittomalta – koska myös häviäjillä oli tie voittoon, jonka heidän omat onnenheittonsa olisivat voineet mahdollistaa.
Tasapainotestaus matematiikan avulla
MEQA-kehys (mitattavuus, sitoutuminen, laatu, saavutettavuus) tarjoaa jäsennellyn lähestymistavan pelien tasapainotestaukseen. Mitattavuuspilari – M-kirjain MEQA:ssä – on kohta, jossa matematiikka astuu suunnitteluprosessiin muodollisesti: ennen pelitestauksen alkamista suunnittelija määrittelee, mitä "tasapainoinen" tarkoittaa mitattavissa olevina termeinä.
Peleissä, joissa on epäsymmetrisiä ryhmittymiä, kuten Neutronium: Parallel Wars, mitattavissa oleva tasapaino tarkoittaa: kunkin ryhmän tulee saavuttaa voittoprosentti määritetyn toleranssialueen sisällä riittävän joukon pelejä vertailukelpoisilla taitotasoilla. Jos tavoite on 50 % voittoprosentti (puhdas saldo) ±10 % hyväksyttävällä vaihteluvälillä, niin 42 % peleistä voittava ryhmä on toleranssin sisällä ja 63 % ei. Mutta tämän standardin saavuttaminen edellyttää tavoitteen tuntemista ennen testaamista – ei jälkikäteen julistamista, että havaitut voittoprosentit ovat "riittävän lähellä".
Mittarien määrittäminen ennen pelitestausta muuttaa havainnointiasi. Jos tiedät, että mittaat voittoprosenttia ryhmää kohden, voit seurata ryhmien tehtäviä ja tuloksia istuntojen aikana. Jos tiedät mittaavasi keskimääräisen pelin pituuden, tallennat aikaleimat. Nämä päätökset on tehtävä ennen ensimmäistä pelitestiä, koska retrospektiiviset mittarit ovat epäluotettavia – muisti on valikoiva ja ihmiset muistavat luonnollisesti istunnot, jotka tukevat olemassa olevia uskomuksia.
Otoksen kokovaatimukset tasapainopäätelmiä varten ovat usein suurempia kuin suunnittelijat odottavat. Kahden pelaajan pelissä, jossa on 2 ryhmää, 30 peliä tarjoaa perustiedot yli 15 %:n epätasapainon havaitsemiseksi 80 %:n varmuudella. Neljän pelaajan peleissä, joissa on 6 ryhmää, yhdistelmätila on paljon suurempi: 30 peliä antaa noin 5 peliä ryhmäparia kohden – tuskin riittää äärimmäisen epätasapainon havaitsemiseen ja ei riitä hienovaraisten etujen havaitsemiseen. Indie-julkaisijoilla on harvoin resursseja tiukkaan tilastolliseen validointiin. Käytännön lähestymistapa on käyttää matematiikkaa odotettujen arvojen todentamiseen, pelitestausta poikkeavien havaitsemiseen ja yhteisön palautetta julkaisun jälkeen selviytyneiden ongelmien tunnistamiseen.
Katso koko kehys – mukaan lukien kuinka Measurability integroituu muihin MEQA-pilareihin – katso MEQA-pelien tasapainokehysoppaasta, joka kattaa täydellisen lähestymistavan pelijärjestelmien tasapainon määrittelyyn, mittaamiseen ja saavuttamiseen.
Neutronium:n tulon skaalauskaava liittyy suoraan mekaniikkatietoihin osoitteessa /mechanics/nuclear-port-scaling, jossa eksponentiaalinen funktio dokumentoidaan kunkin kynnysarvon suunnitteluperustelun ohella.
Todennäköisyystyökalut suunnittelijoille
Useita työkaluja mahdollistavat pelien suunnittelun matematiikin käyttö ilman edistynyttä tilastokoulutusta. Nämä ovat ne, jotka toimivat käytännössä.
AnyDice (anydice.com) on pelisuunnittelijoiden tavallinen nopan todennäköisyyslaskin. Se hyväksyy luonnollisen kielen noppamerkinnät (2d6, d4+d8, 3d6 pitää korkein 2) ja palauttaa todennäköisyysjakaumat, odotusarvot ja kumulatiiviset todennäköisyydet. AnyDicen tulisi olla ensimmäinen työkalu kaikille noppia käyttäville mekaanikoille. Sen tuloskaaviot tekevät jakaumista välittömästi luettavissa ja vertailukelpoisia – liitä kaksi erilaista noppalauseketta vierekkäin nähdäksesi heti, miten niiden jakautumat eroavat.
Taulukkosimulaatiot (Google Sheets, Excel) käsittelevät laskelmia, joita AnyDice ei voi: resurssien kertyminen useilta kierroksilta, tulot useista lähteistä, odotettu pelin pituus erilaisten strategisten oletusten mukaan. Pelin talouden peruslaskentataulukkomalli, jossa on sarakkeita kullekin kierrokselle, rivit kullekin resurssityypille ja kaavoja, jotka kuvaavat pelin ydintuloja ja kulutusmekaniikkaa – kestää 2–3 tuntia, ja se paljastaa tasapainoongelmia, joiden löytäminen empiirisesti vaatisi yli 20 pelitestiä.
Monte Carlo -simulaatio on tarkin työkalu: pelin mekaniikka ajetaan tuhansia kertoja laskennallisesti tilastollisten jakaumien tuottamiseksi kaikista mahdollisista lopputuloksista. Suunnittelijoille, joilla on ohjelmointitausta, Python ja NumPy riittää useimpiin pelisimulaatiotarpeisiin. Suunnittelijoille, joilla ei ole ohjelmointitaustaa, on tarjolla visuaalisia Monte Carlo -työkaluja ja jopa taulukkopohjaisia simulaatioita, jotka tuottavat merkityksellisiä tuloksia rajoitetulla teknisellä tiedolla. Monte Carlo on arvokkain monimutkaisten keskinäisten riippuvuuksien peleissä, joissa analyyttinen laskenta on vaikeaa – kun useat satunnaiset tapahtumat ovat vuorovaikutuksessa, simulaatio tuottaa luotettavampia jakautumisestimaatteja kuin manuaalinen laskenta.
Milloin kannattaa luottaa matematiikkaan verrattuna pelitestiin: käytä matematiikkaa varmistaaksesi teoreettisen tasapainon ja havaita ilmeiset suunnitteluvirheet ennen kuin panostat pelitestaukseen. Pelitestauksen avulla voit selvittää, kuinka ihmisen psykologia on vuorovaikutuksessa matematiikan kanssa – paikkoja, joissa optimaalinen strategia eroaa pelaajien todellisista tekemisistä, ja paikkoja, joissa matematiikka ennustaa tasapainoa, mutta kokemus tuntuu epäreilulta. Molemmat ovat välttämättömiä. Kumpikaan ei yksinään riitä.
Usein kysytyt kysymykset
Peli, jossa matematiikka on suunniteltu näkyväksi
Neutronium: Parallel Wars:n tulojen skaalaus, liittoutuman kynnykset ja noppajärjestelmä perustuvat eksplisiittiseen todennäköisyysmatematiikkaan. Liity julkaisupäivitysten odotuslistalle.
Liity jonotuslistalle →