Математика друштвених игара: вероватноћа, очекивана вредност и зашто се коцкице осећају неправедно

Сваки механичар друштвених игара има математички идентитет. Бацање коцкица има очекивану вредност и варијансу. Извлачење карте има дистрибуцију вероватноће. Трговина ресурсима има девизни курс који се може изразити као однос. Дизајнери који разумеју ову математику доносе боље одлуке од дизајнера који раде по осећају — не зато што математика замењује интуицију, већ зато што се интуиција често не слаже са стварношћу на начин на који се само тестирање споро исправља.

Овај чланак покрива математичке концепте који су најважнији за дизајн и игру друштвених игара: дистрибуције вероватноће, очекивану вредност, варијансу и психолошки јаз између онога што математика каже и онога што играчи доживљавају. Без обзира да ли дизајнирате игру или само покушавате да разумете зашто ваше сесије коцкица изгледају тако катастрофално несрећне, оквир овде ће променити начин на који размишљате о насумичности у играма.

Зашто је математика важна у дизајну игара

А дизајнер игара који није израчунао очекивану вредност основне акционе економије своје игре не зна да ли њихова игра функционише. Ово звучи грубо, али је функционално тачно. Ако је очекивани приход од најбоље доступне акције 4 ресурса по рунди и цена акције са условом победе је 30 ресурса, дизајнер треба да зна да ли је та стопа прихода достижна током уобичајеног трајања игре — пре тестирања, а не после шест сесија питајући се зашто нико никада не побеђује.

Матх и плаитестинг су комплементарни алати, а не алтернативе. Математика вам говори шта теорија предвиђа. Плаитестинг вам говори да ли људско понашање одговара теорији. Већину времена се разликују - не зато што је математика погрешна, већ зато што играчи не бирају увек теоретски оптималну акцију. Јаз између теоријске оптималне игре и стварне људске игре је сама по себи варијабла дизајна: игра у којој само оптимална игра доноси занимљиве одлуке је гора игра од оне у којој неоптимална игра такође ствара занимљиве ситуације.

Сваки механичар има очекивану вредност, и дизајнери то морају знати. Када Neutronium: Parallel Wars играч добије приход од Nuclear Port, он добија по порту по прецизно израчунатој очекиваној вредности. Када одлуче да нападну, а не да граде, они доносе одлуку која има израчунљиве очекиване исходе у различитим сценаријима. Дизајнер који зна ове бројеве може донети смислене одлуке о равнотежи; дизајнер који не нагађа.

Критична асиметрија је у томе што се случајност чини неправедном чак и када је уравнотежена. Бацање новчића 50/50 производи главе шест пута заредом отприлике 1,6% времена — ретко, али није немогуће. Када се то деси играчу у игри, они то доживљавају као да је утакмица прекинута, а не као нормалан статистички догађај. Разумевање зашто се то дешава — и како дизајнери могу структурирати случајност како би се осећали мање кажњавајући, а да притом задрже исте основне вероватноће — је најпрактичнија примена математике дизајна игара.

Дице Пробабилити 101

Појединачни д6 је најчешћи алат за рандомизацију у друштвеним играма и такође један од најчешће погрешно схваћених. Стандардни д6 производи униформну дистрибуцију: свако лице (1 до 6) има 1/6 вероватноће да ће се појавити, а очекивана вредност је 3,5. Играчи то интуитивно разумеју, али често не разумеју шта то значи за поновљена превртања сесије.

Разлика између једног д6 и 2д6 је темељна за разумевање зашто се различите механике коцкица осећају другачије. Један д6 има равну дистрибуцију вероватноће — сваки исход од 1 до 6 је подједнако вероватан.Два зброја д6 дају звонасту криву: 7 је највероватнији резултат (вероватноћа 6/36 = 16,7%), док 2 и 12 имају вероватноћу 1/36 = 2,8%. Дистрибуција 2д6 концентрише исходе близу средине и чини екстремне резултате ретким. Због тога се Цатан, који користи 2д6 за производњу ресурса, осећа мање кажњавајући при појединачним бацањима него системи са једним коцкицама — дистрибуција природно ограничава екстремне резултате.

Прилагођене коцкице са нестандардном расподелом лица дају дизајнерима прецизну контролу над профилима вероватноће које стандардне коцкице не могу да обезбеде. Коцка са лицима [0, 0, 0, 1, 1, 2] има веома другачији карактер од д6: производи нула у 50% времена, један у 33% времена и два у 17% времена, са очекиваном вредношћу од 0,67. Neutronium: Parallel Wars користи прилагођене Д6 коцкице са бојом означеним лицима: плава лица представљају стандардне резултате борбе, црвена представљају критичне резултате, а зелена лица представљају покретаче посебних способности. Дистрибуција типова лица – не само број лица – одређује вероватноћу сваког исхода. Коцка са три плава лица, два црвена лица и једним зеленим лицем даје плаве резултате 50% времена, црвена 33%, а зелена 17%. Дизајнер може да прилагоди ове односе променом броја лица уместо да креира математички сложене системе резолуције.

Експлодирајуће коцкице су коцкице које се при бацању максималне вредности поново бацају и резултати се додају. Д6 који експлодира на 6 има очекивану вредност (1+2+3+4+5+6)/6 + (1/6 × очекивана вредност д6) = 3,5 + (1/6 × 3,5) = 3,5 + 0,583 = 4,083. Отворена природа ствара теоретски неограничене резултате — срећан низ експлозија може да произведе веома високе укупне вредности — што производи тренутке „осећања среће“ које неке игре намерно негују. Компромис је велика варијанса и повремено бацање среће које дефинише игру.

Боундед коцкице су супротна филозофија: ограничавање максималног исхода да би се ограничила варијанса. Системи коцкица у којима бацате више коцкица и узимате само најбоље Н резултате (системи предности као што је Д&Д 5Е-ов механичар предности или Гумсхое-ов вишеструко узимање коцкица) математички смањују варијансу уз задржавање вероватноће. Узимање већег од два бацања д6 помера очекивану вредност са 3,5 на 4,47 — побољшање од 28% — док значајно смањује вероватноћу ниских исхода.

Очекивана вредност у играма ресурса

Игре за акумулацију ресурса — еври, градитељи мотора, економске стратегије — изграђене су на прорачунима очекиване вредности које дизајнер мора прецизно да разуме чак и ако се никада не појављују експлицитно у правилнику. Када играч бира између две акције, он (свесно или не) упоређује очекивану вредност тих радњи током релевантног временског хоризонта.

Neutronium: Parallel Wars Nuclear Port систем прихода је експлицитан пример дизајниране очекиване вредности. Формула прихода утврђује да играч са Н Nuclear Port прима приход по стопи која се нелинеарно повећава са Н. Специфична формула — 1 порт даје 2 Neutronium јединице по рунди; 10 портова даје 220 Nn по рунди — није случајно.Експлицитна изјава дизајнера је да акумулација портова треба да производи експоненцијалне, а не линеарне поврате, јер експоненцијални приноси стварају коалициони праг који покреће конкурентску динамику игре.

This formula is intentional game design expressed as mathematics. Јаз између прихода од 7 портова (42 Nn/рунда) и прихода од 10 портова (220 Nn/рунда) је економски аргумент зашто се коалиције формирају на прагу од 7 портова уместо да чекају до 9 или 10 портова. На 7 портова, играч има довољно прихода да буде претња — али коалициона акција и даље може бити одлучујућа пре него што предност у приходу постане математички непремостива. Дизајнер који је до ових бројева дошао само путем тестирања, могао би да их приближно тачно добије; дизајнер који је разумео експоненцијалну функцију од почетка могао би прецизно да одреди праг.

Шири принцип: Када је експоненцијално скалирање намерно дизајнирање игре, дизајнер мора да документује функцију скалирања и да провери да ли су прагови које креира тамо где желе. Ако коалициони праг треба да буде на 6 портова, а не на 7, формула прихода треба да се прилагоди — што захтева да се зна шта је формула, а не само да се посматра „да је игра уравнотежена“.

Варијанца и перцепција играча

Варијанца је мера колико се стварни исходи шире око очекиване вредности. Велика варијанса значи да се појединачни резултати могу драматично разликовати од очекиваних; ниска варијанса значи да се резултати чврсто групишу око просека. For game designers, variance is a control knob that affects both the mathematical fairness of the game and the subjective experience of playing it.

Кључни психолошки увид: Висока варијанса је лоша чак и када је математички уравнотежена. Бацање новчића је савршено фер – 50/50, очекивана вредност потпуно једнака за оба играча – али играње игре у којој се свака одлука решава бацањем новчића осећа се произвољно и бескорисно. Играчи треба да осете да су њихове одлуке важне, што значи да им је потребна узрочна веза између добрих одлука и добрих исхода да би била уочљива у оквиру сесије игре. Велика варијанса прекида ту везу.

Проблем 7 насупрот 2 Цатан хексадецимал то јасно илуструје. У Катану је број 7 одштампан на највише хекса јер има највећу вероватноћу са 2д6 (16,7%). Број 2 је одштампан на најмање хексадеката (2,8%). Искусни играчи знају да дају приоритет ресурсима на 6с, 8с, 5с и 9с — хексама са великом вероватноћом. Али у било којој сесији, играч који исправно постави своја почетна поравнања на овим хексама и даље може бити знатно лошији од играча са нижом вероватноћом пласмана ако стварна бацања коцкица одступа од очекиваних вредности. Ово није неправедно – то је нормална статистичка варијација.Али то се чини неправедним јер је однос између одлуке (добар пласман) и исхода (чести приход од ресурса) замагљен варијансама.

Дизајнерска решења за управљање уоченом неправедношћу од варијансе укључују: Механика ублажавања (поновно бацање, банке ресурса, механизми сустизања који се активирају у случају несреће), механика ублажавања (поновно бацање, банке ресурса, механизми сустизања који се активирају у случају несреће), де 10 поена што значи луцк (тако да играч који слабо игра и даље има интересантне изборе), и варијанса која фаворизује играче у заостатку (надокнађивање преко варијансе: водећи играч жели стабилан, предвидљив приход; заостали играчи се приближавају очекиваној вредности која може брзо да се смањи, али чак и играчи у заостатку могу да се приближе очекиваној вредности од велике исто).

Кингмакер тренуци од коцкица — где насумично бацање одређује који играч побеђује или губи у последњој рунди — су најштетнији исходи варијације за задовољство играча. Решење није елиминисање коцкица, већ структурирање касне игре тако да исходи коцкица утичу на пут до победе, а не да је директно одређују. Када више играча има одрживе победничке позиције у последњој рунди, срећно бацање је задовољавајуће за победника, али се не осећа нелегитимно за губитнике — јер су губитници такође имали пут до победе који је могао да им омогући сопствени срећни бацање.

Тестирање равнотеже са Матх

Оквир MEQA (мерљивост, ангажовање, квалитет, приступачност) пружа структурирани приступ тестирању баланса игре. Стуб мерљивости — М у MEQA — је место где математика формално улази у процес дизајна: пре него што тестирање играња почне, дизајнер дефинише шта „уравнотежен“ значи у мерљивим терминима. КЗ3ККСА0011

За игру са асиметричним фракцијама као што је Neutronium: Parallel Wars, мерљива равнотежа значи: свака фракција треба да постигне стопу победа у оквиру дефинисаног опсега толеранције у довољном узорку игара на упоредивим нивоима вештина. Ако је циљ 50% стопе победе (чиста равнотежа) са ±10% прихватљивог опсега, онда је фракција која победи у 42% игара унутар толеранције, а фракција која победи 63% није. Али постизање овог стандарда захтева познавање циља пре тестирања — не декларисање пост-хоц да су уочене стопе победа „довољно блиске“.

Дефинисање метрике пре тестирања играња мења оно што посматрате. Ако знате да мерите стопу победа по фракцијама, пратите додељене фракције и резултате кроз сесије. Ако знате да мерите просечну дужину игре, бележите временске ознаке. Ове одлуке се морају донети пре прве сесије тестирања, јер су ретроспективни показатељи непоуздани — меморија је селективна и људи природно памте сесије које подржавају постојећа уверења.

Захтеви за величину узорка за закључке о равнотежи често су већи него што дизајнери очекују. За игру за 2 играча са 2 фракције, 30 игара пружа основне податке за откривање неравнотеже веће од 15% са поузданошћу од 80%. За игре за 4 играча са 6 фракција, простор за комбиновање је много већи: 30 игара вам даје приближно 5 игара по пару фракција — једва довољно за откривање екстремне неравнотеже, а недовољно за откривање суптилних предности.Независни издавачи ретко имају ресурсе за ригорозну статистичку валидацију; практичан приступ је коришћење математике за верификацију очекиваних вредности, тестирање играња да би се ухватиле одступања и повратне информације заједнице након објављивања да би се идентификовали преживјели проблеми.

За комплетан оквир — укључујући начин на који се мерљивост интегрише са другим MEQA стубовима — погледајте MEQA водич за оквир за баланс игре, који покрива комплетан приступ дефинисању и дефинисању равнотеже у игрици, системи.

Формула за скалирање прихода у Neutronium повезује се директно са детаљима механике на /мецханицс/нуцлеар-порт-сцалинг, где је експоненцијална функција документована заједно са резоновањем дизајна КЗ13 за сваку вредност К13 за стару вредност дизајна.

Алати за вероватноћу за дизајнере

Неколико алата чини математику дизајна игара приступачном без потребе за напредном статистичком обуком. То су они који раде у пракси.

АниДице (анидице.цом) је стандардни калкулатор вероватноће коцкица за дизајнере игара. Прихвата нотацију коцкица на природном језику (2д6, д4+д8, 3д6 задржава највећу 2) и враћа дистрибуције вероватноће, очекиване вредности и кумулативне вероватноће. За било ког механичара који укључује коцкице, АниДице би требало да буде први консултован алат. Његови излазни графикони чине дистрибуције одмах читљивим и упоредивим — налепите два различита израза коцкица један поред другог да бисте одмах видели како се њихове дистрибуције разликују.

Спреадсхеет Симулатионс (Google Схеетс, Екцел) обрађују прорачуне које АниДице не може: акумулација ресурса током више рунди, приход из више извора, очекивана дужина игре под различитим стратешким претпоставкама. Основном моделу табеле економије игре — са колонама за сваки потез, редовима за сваки тип ресурса и формулама које представљају основни механизам прихода и потрошње у игри — потребно је 2–3 сата да се изгради и открива проблеме са равнотежом за које би било потребно више од 20 тестова да би се емпиријски открили.

Монте Царло симулатион је алат највише прецизности: покретање механике игре хиљаде пута рачунарски да би се произвеле статистичке дистрибуције за све могуће исходе. За дизајнере са позадином програмирања, Питхон са НумПи је довољан за већину потреба за симулацијом игара. За дизајнере без знања програмирања, постоје визуелни Монте Карло алати, па чак и симулације засноване на табелама које дају значајне резултате са ограниченим техничким знањем. Монте Карло је највреднији за игре са сложеним међузависностима где је аналитичко израчунавање тешко — када више случајних догађаја интерагује, симулација даје поузданије процене дистрибуције од ручног израчунавања.

Када веровати математици у односу на када тестирати: користите математику да бисте проверили теоријску равнотежу и ухватили очигледне грешке у дизајну пре него што уложите у тестирање. Користите тестирање играња да бисте открили како људска психологија ступа у интеракцију са математиком — места на којима се оптимална стратегија разликује од онога што играчи заправо раде, и места на којима математика предвиђа равнотежу, али искуство се чини неправедним. И једно и друго је неопходно. Ни једно није довољно само по себи.

Често постављана питања